[论文解读] On the Optimality of Pseudo-polynomial Algorithms for Integer Programming

Fedor V. Fomin, Fahad Panolan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Formal Methods in Verification被引用 5

一句话总结

本文在指数时间假设（ETH）下建立了整数规划（IP）的紧致条件性下界，表明近期的伪多项式算法——尤其是Jansen和Rohwedder提出的算法——几乎是最优的。证明了即使对于非负矩阵，具有常数个约束的IP也无法在时间 $ n^{o(m / \log m)} \cdot \|b\|_\infty^{o(m)} $ 内求解，并在列-拟阵的路径宽有界时给出了匹配的上下界，从而解决了参数化IP领域长期存在的复杂性问题。

ABSTRACT

In the classic Integer Programming (IP) problem, the objective is to decide whether, for a given m x n matrix A and an m-vector b=(b_1,..., b_m), there is a non-negative integer n-vector x such that Ax=b. Solving (IP) is an important step in numerous algorithms and it is important to obtain an understanding of the precise complexity of this problem as a function of natural parameters of the input. The classic pseudo-polynomial time algorithm of Papadimitriou [J. ACM 1981] for instances of (IP) with a constant number of constraints was only recently improved upon by Eisenbrand and Weismantel [SODA 2018] and Jansen and Rohwedder [ArXiv 2018]. We continue this line of work and show that under the Exponential Time Hypothesis (ETH), the algorithm of Jansen and Rohwedder is nearly optimal. We also show that when the matrix A is assumed to be non-negative, a component of Papadimitriou's original algorithm is already nearly optimal under ETH. This motivates us to pick up the line of research initiated by Cunningham and Geelen [IPCO 2007] who studied the complexity of solving (IP) with non-negative matrices in which the number of constraints may be unbounded, but the branch-width of the column-matroid corresponding to the constraint matrix is a constant. We prove a lower bound on the complexity of solving (IP) for such instances and obtain optimal results with respect to a closely related parameter, path-width. Specifically, we prove matching upper and lower bounds for (IP) when the path-width of the corresponding column-matroid is a constant.

研究动机与目标

• 在指数时间假设（ETH）下建立整数规划（IP）复杂性的条件性下界。
• 分析具有常数个约束的IP伪多项式算法的最优性。
• 解决当约束矩阵的列-拟阵路径宽有界时IP的复杂性问题。
• 将Cunningham和Geelen关于分支宽与IP的研究扩展至路径宽，提供紧致的界。

提出的方法

• 利用指数时间假设（ETH）和强指数时间假设（SETH）推导IP算法的条件性下界。
• 将已知的难问题（如3-SUM）归约至IP实例，通过问题等价性建立下界。
• 应用Steinitz引理和邻近性分析来界定解的大小，并指导算法设计。
• 提出一种构造性算法，用于计算路径宽有界的拟阵的路径分解。
• 通过从3-SUM′的归约表明，IP运行时间的任何改进都将意味着3-SUM问题的突破。
• 当路径宽为常数时，利用路径分解上的动态规划，证明IP的上下界匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ETH下，伪多项式IP算法的运行时间能否显著改进？
• RQ2 Jansen和Rohwedder的算法是否在子指数因子意义下最优？
• RQ3 当列-拟阵的路径宽被常数有界时，IP的精确复杂性是什么？
• RQ4 在ETH下，IP算法中对 $ \|b\|_\infty $ 的依赖能否低于 $ \|b\|_\infty^{o(m)} $ ？
• RQ5 IP在有界分支宽与有界路径宽情况下的复杂性之间是否存在超多项式差距？

主要发现

• 在ETH下，任何算法都无法在时间 $ n^{o(m / \log m)} \cdot \|b\|_\infty^{o(m)} $ 内求解具有m个约束的IP，即使对于非负矩阵也是如此。
• Jansen和Rohwedder的算法几乎是最优的，因为任何改进都将违反ETH。
• 对于非负矩阵，Papadimitriou算法中用于界定解大小的部分在ETH下已近乎最优。
• 当列-拟阵的路径宽被常数有界时，IP具有形式为 $ (\|b\|_\infty + 1)^{O(\text{path-width})} \cdot n^{O(1)} $ 的匹配上下界。
• 该结果表明，对有界路径宽实例的IP运行时间进行进一步改进，将需要根本性的新算法思路。
• 本文表明，若3-SUM能实现超多项式改进，则IP算法也将随之实现类似改进，表明存在强烈的复杂性障碍。