[论文解读] On the order modulo p of an algebraic number (for p large enough)

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 11

一句话总结

本文利用伽罗瓦扩张中的弗罗贝尼乌斯自同构，研究了代数数模素理想和有理素数的乘法阶。对于大素数 $ p $，在博雷尔-坎泰利启发下，证明了当 $ p \to \infty $ 且 $ g_p(n_p - 1) \to 2 $ 时，对所有非二次域，均有 $ o_p(\theta) > p $ 成立，涵盖三次与四次域，但不包括二次域。

ABSTRACT

Let K/Q be Galois, and let eta in K* whose conjugates are multiplicatively independent. For a prime p, unramified, prime to eta, let np be the residue degree of p and gp the number of P I p, then let o\_P(eta) and o\_p(eta) be the orders of eta modulo P and p, respectively.Using Frobenius automorphisms, we show that for all p extgreater{} extgreater{}0, some explicit divisors of p^(np)-1 cannot realize o\_P(eta) nor o\_p(eta), and we give a lower bound of o\_p(eta).Then we obtain that, for all p extgreater{} extgreater{}0 such that np extgreater{}1, Prob(o\_p(eta) extless{}p) $\le$ 1/p^(gp.(np-1)-epsilon)), where epsilon = O(1/(log\_2(p))); under the Borel--Cantelli heuristic, this leads to o\_p(eta) extgreater{}p for all p extgreater{} extgreater{}0 such that gp.(np-1) $\ge$ 2, which covers the "limit" cases of cubic fields with np=3 and quartic fields with np=gp=2, but not the case of quadratic fields with np=2. In the quadratic case, the natural conjecture is, on the contrary, that o\_p(eta) extless{} p for infinitely many inert p. Some computations are given with PARI programs.

研究动机与目标

• 确定伽罗瓦扩张中代数数 $ \eta $ 模有理素数 $ p $ 的乘法阶 $ o_p(\eta) $ 的渐近行为。
• 利用弗罗贝尼乌斯自同构，识别 $ p^{n_p} - 1 $ 的显式因子，这些因子无法实现 $ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ 或 $ o_p(\eta) $，适用于大 $ p $。
• 在剩余次数 $ n_p > 1 $ 和分解群结构的背景下，建立 $ o_p(\eta) $ 的非平凡下界。
• 分析概率 $ \mathrm{Prob}(o_p(\eta) < p) $，并推导其衰减速率 $ \leq 1/p^{g_p(n_p - 1) - \varepsilon} $，其中 $ \varepsilon = O(1/\log_2 p) $，适用于大 $ p $。
• 对比二次域与高次域的行为差异：在二次域中，对无穷多个惰性素数，$ o_p(\eta) < p $ 被猜想成立；而在高次域中，预期 $ o_p(\eta) > p $。

提出的方法

• 利用伽罗瓦扩张 $ K/\mathbb{Q} $ 中的弗罗贝尼乌斯自同构，分析 $ \eta \in K^\times $ 在素理想 $ \mathfrak{p} \mid p $ 上的作用，利用分解群的循环结构。
• 应用切波塔列夫密度定理，按剩余次数 $ n_p $ 对素数 $ p $ 进行分类，确保在具有相同 $ n_p $ 的 $ \mathfrak{p} \mid p $ 之间分析的一致性。
• 通过分圆多项式 $ \Phi_\delta(p) $ 的结构，推导出 $ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ 和 $ o_p(\eta) $ 的显式禁止因子，得到集合 $ D_{h,\delta}(p) = (p^h - 1)/\Phi_\delta(p) $。
• 运用概率数论与博雷尔-坎泰利启发法，估计满足 $ o_p(\eta) < p $ 的素数 $ p $ 的密度，得出上界 $ \mathrm{Prob}(o_p(\eta) < p) \leq 1/p^{g_p(n_p - 1) - \varepsilon} $。
• 使用 PARI/GP 程序计算 $ \phi(D) $ 和 $ \sum \phi(D) $，其中 $ D \in \mathcal{D}_p $，以实现密度与增长行为的数值验证。
• 分析量 $ C = \mathrm{Density} \cdot p / \log p $ 的增长，其中 $ \mathrm{Density} = \frac{1}{p^2 - 1} \sum_{D \in \mathcal{D}_p} \phi(D) $，以检测局部极大值并推断上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些大素数 $ p $，在伽罗瓦扩张 $ K/\mathbb{Q} $ 中，代数数 $ \eta $ 的阶 $ o_p(\eta) $ 必然超过 $ p $？$ n_p $ 和 $ g_p $ 的何种条件可保证此结论？
• RQ2 哪些 $ p^{n_p} - 1 $ 的因子无法作为大 $ p $ 下的 $ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ 或 $ o_p(\eta) $？如何利用弗罗贝尼乌斯作用与分圆多项式显式刻画这些因子？
• RQ3 概率 $ o_p(\eta) < p $ 的渐近值是多少？当 $ p \to \infty $ 时，该概率如何衰减，特别是在 $ g_p(n_p - 1) \geq 2 $ 的情况下？
• RQ4 为何在二次域中，$ o_p(\eta) < p $ 对无穷多个惰性素数成立的猜想成立，而在高次域中则预期 $ o_p(\eta) > p $？
• RQ5 对于大 $ p $，量 $ C = \mathrm{Density} \cdot p / \log p $ 的行为如何？能否用于改进小阶实现密度的上界？

主要发现

• 对所有足够大的素数 $ p $ 满足 $ n_p > 1 $，有 $ o_p(\eta) < p $ 的概率被上界控制在 $ 1/p^{g_p(n_p - 1) - \varepsilon} $，其中 $ \varepsilon = O(1/\log_2 p) $，表明该概率迅速衰减。
• 在博雷尔-坎泰利启发下，对所有满足 $ g_p(n_p - 1) \geq 2 $ 的大 $ p $，均有 $ o_p(\eta) > p $ 成立，这包括三次域中 $ n_p = 3 $ 与四次域中 $ n_p = g_p = 2 $ 的情形。
• 二次域中 $ n_p = 2 $ 的情形被排除在此结论之外，自然猜想为：对无穷多个惰性素数 $ p $，有 $ o_p(\eta) < p $。
• 显式因子 $ D_{h,\delta}(p) = (p^h - 1)/\Phi_\delta(p) $（其中 $ \delta \mid h $）无法实现大 $ p $ 下的 $ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ 或 $ o_p(\eta) $，这是由于弗罗贝尼乌斯作用施加的约束。
• 通过 PARI/GP 的数值计算表明，当 $ p^2 - 1 $ 为高度合数（光滑数）时，量 $ C = \mathrm{Density} \cdot p / \log p $ 可显著增长，例如在 $ p = 1758415231 $ 时，$ C \approx 81.5 $。
• 密度 $ \mathrm{Density} = \frac{1}{p^2 - 1} \sum_{D \in \mathcal{D}_p} \phi(D) $ 展现出高度离散性，其值范围从 $ 10^{-59} $ 到 $ 10^{-35} $，且 $ \Delta = (p+1)\mathrm{Density} - 1/3 $ 可能很大，表明其与均匀分布存在显著偏离。