[论文解读] On the order of the Schur multiplier of $p$-groups

Kavita Pradeep|arXiv (Cornell University)|May 6, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文改进了有限 $p$-群的Schur乘子的界，特别是对极大类的群，证明了阶为 $p^n$ 且属于极大类的 $p$-群的Schur乘子的阶至多为 $p^{n/2}$，其中 $p$ 为奇素数。本文完成了对达到Niroomand界之 $p$-群的分类，并通过群的下中央列的交换化商群上的同态 $\Psi_i$，对幂零类为3和4的群建立了紧约束。

ABSTRACT

We give a bound on the order of the Schur multiplier of $p$-groups refining earlier bounds. As an application we complete the classification of groups having Schur multiplier of maximum order. Finally we prove that the order of the Schur multiplier of a finite $p$-group of maximal class and order $p^n$ is at most $p^{\frac{n}{2}}$.

研究动机与目标

• 改进有限 $p$-群的Schur乘子阶的现有上界，特别是针对幂零类较高的群。
• 完成对有限 $p$-群的分类，使得其Schur乘子达到Niroomand界，扩展了对类2和类3群的先前工作。
• 为奇素数 $p$ 且属于极大类的 $p$-群建立 $p^{n/2}$ 的紧上界，改进了早期结果。
• 通过研究多线性同态 $\Psi_i$ 在交换化商群张量积上的像，分析幂零类为3和4的 $p$-群的结构。
• 确定 $p$-群的阶为 $p^n$ 时，Schur乘子达到其最大可能阶的确切条件。

提出的方法

• 引入一个新界，使用生成元的最小数目 $d(G)$、幂零类 $c$ 和换位子子群的阶 $|\gamma_2(G)| = p^k$，表达为 $|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(d-1)(n+k) - \sum_{i=2}^{\min(d,c)} (d-i)}$。
• 使用多线性同态 $\Psi_i$，从 $\overline{G}^{ab}$ 的张量积映射到 $\frac{\gamma_i(G)}{\gamma_{i+1}(G)} \otimes \overline{G}^{ab}$，通过左括号和右括号嵌套的换位子定义。
• 应用Ellis和Weigold的引理2.1，将Schur乘子与 $\Psi_i$ 的像及 $G$ 的交换化阶联系起来。
• 利用Hall-Witt恒等式和 $p$-群的性质，分析 $\Psi_i$ 的像的非平凡性，特别是对 $p=3$ 和幂零类为4的情况。
• 通过GAP进行计算验证，确认在阶为 $3^7$ 的3-群中，仅 $G_4$ 达到该界。
• 通过构造生成元对 $s, s_1$，其中 $s_1 \in C_G(\gamma_2(G)/\gamma_4(G))$，分析极大类的 $p$-群，并证明对奇数 $i$ 有 $\Psi_i$ 的非平凡性，从而导出该界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于极大类的 $p$-群，Schur乘子阶的最紧可能上界是什么？
• RQ2 哪些 $p$-群使得Schur乘子达到Niroomand界 $|M(G)| = p^{\frac{1}{2}(n-k-1)(n+k-2)+1}$？
• RQ3 能否对幂零类 $\geq 3$ 的 $p$-群改进Schur乘子的界？
• RQ4 当 $p$-群类为3时，Schur乘子达到其最大可能阶会引发哪些结构约束？
• RQ5 在何种条件下，同态 $\Psi_i$ 的像为非平凡，且这对Schur乘子的界有何影响？

主要发现

• 对于奇素数 $p$ 且 $n \geq 4$，阶为 $p^n$ 的极大类有限 $p$-群的Schur乘子满足 $|M(G)| \leq p^{n/2}$，优于先前的界。
• 界 $|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}(d-1)(n+k) - \sum_{i=2}^{\min(d,c)} (d-i)}$ 改进了Niroomand的界，且对 $\min(d(G), c)$ 较大的群更紧。
• 对达到Niroomand界的 $p$-群的分类已完成：此类群为 $G_1 = E_p \times C_p^{(n-3)}$，$G_2 = C_p^{(4)} \rtimes C_p$，$G_3$，和 $G_4$，其中仅 $G_4$ 是阶为 $3^7$ 的类3 3-群达到该界。
• 对于 $p \geq 5$，不存在幂零类 $\geq 3$ 的 $p$-群达到Niroomand界，以直接证明确认了Hatui的结果。
• $\Psi_4$ 的像是非平凡的，对于幂零类为4的 $p$-群，这导致乘子界出现矛盾，除非群的类为3。
• $G_4$ 是唯一阶为 $3^7$ 且类为3的3-群，其Schur乘子达到Niroomand界，经GAP验证。