[论文解读] On the order of the Titchmarsh's sum in the theory of the Riemann zeta-function and on the biquadratic effect in the information theory

Jan Moser|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过推导连续非平凡Zeta函数零点处 Hardy Z函数平方乘积之和的渐近公式，解决了解析数论中的经典 Titchmarsh 求和问题。利用先进的指数和技巧及与信息论的联系，证明该和的增长率为 $ \frac{3}{4\pi^5} T \ln^5 T + \mathcal{O}(T \ln^4 T) $，并进一步通过信号理论中的四次效应，将 Z 函数与 Kotelnikoff-Whittaker-Nyquist 采样定理联系起来。

ABSTRACT

We obtain in this paper the solution of the classical problem on the order of the Titchmarsh's sum (1934). Simultaneously, we obtain a connection of this problem and the Kotelnikoff-Whittaker-Nyquist's theorem from the information theory.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的关于非平凡 Zeta 函数零点上 Titchmarsh 求和 $ \sum Z^2(t_\nu)Z^2(t_{\nu+1}) $ 的阶的问题。
• 为与 Zeta 函数零点平均间距相关的 $ Z^2(t) $ 在时移点上的自相关建立精确的渐近公式。
• 将 Zeta 函数零点的分布及 $ Z(t) $ 的行为与信息论中的 Kotelnikoff-Whittaker-Nyquist 采样定理联系起来。
• 证明由于其谱特性及推导出的四次效应，信号 $ Z(t) $ 满足采样定理的条件。

提出的方法

• 推导 $ Z^2(t) $ 在相距 $ k\rho_1(\nu) $ 的点上的通用自相关公式，其中 $ \rho_1(\nu) = \frac{2\pi}{\ln(t_\nu / 2\pi)} $。
• 使用由 $ \vartheta(t_\nu) = \pi\nu $ 定义的序列 $ \{t_\nu\} $，对应于非平凡 Zeta 函数零点的虚部。
• 应用关于指数和及除数函数分布的深刻估计，通过 $ Z^2(t) $ 的近似函数方程实现。
• 利用 Hardy-Littlewood 圆法的离散类比及相位调制的随机过程，验证不同实现下的结果。
• 建立关于 $ \tilde{t}_\nu $ 的求和关键引理，其中 $ \vartheta(\tilde{t}_\nu) = \frac{\pi}{2}\nu $，以推导主渐近公式。
• 利用 Z 函数与 Riemann Zeta 函数之间的联系，将数论求和与信号理论中的采样联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Titchmarsh 求和 $ \sum_{T \leq t_\nu \leq 2T} Z^2(t_\nu)Z^2(t_{\nu+1}) $ 的精确渐近阶是什么？
• RQ2 与 Zeta 函数零点平均间距相关的 $ Z^2(t) $ 在时移点上的自相关行为如何渐近表现？
• RQ3 能否通过四次效应将 Riemann Zeta 函数零点分布与 Kotelnikoff-Whittaker-Nyquist 采样定理联系起来？
• RQ4 相位调制的随机过程 $ Z^2_\varphi(t) $ 在不同实现中对渐近公式的验证中起什么作用？

主要发现

• Titchmarsh 求和满足 $ \sum_{T \leq t_\nu \leq 2T} Z^2(t_\nu)Z^2(t_{\nu+1}) = \frac{3}{4\pi^5} T \ln^5 T + \mathcal{O}(T \ln^4 T) $，从而解决了经典问题。
• 在时移 $ k\rho_1(\nu) $ 处 $ Z^2(t) $ 的自相关渐近公式为 $ \frac{3}{4\pi^5(k-l)^2} T \ln^5 T + \mathcal{O}(MT \ln^4 T) $，当 $ k \neq l $ 时成立。
• 当 $ k = l $ 时，和为 $ \frac{1}{4\pi^3} T \ln^5 T + \mathcal{O}((M+1)T \ln^4 T) $，显示出零延迟时的显著不同行为。
• 由于其限带特性及推导出的四次效应，信号 $ Z(t) $ 满足 Kotelnikoff-Whittaker-Nyquist 采样定理的条件。
• 建立了 Hardy-Littlewood 效应的四次类比：$ \frac{1}{N_2} \sum \left( \frac{1}{M} \sum Z^2(t_\nu + n\rho_1(\nu)) \right)^2 \sim \frac{1}{\pi} \frac{\ln^4 T}{M} $。
• 渐近公式对相位调制随机过程 $ Z^2_\varphi(t) $ 的所有实现均成立，确认了其在随机扰动下的鲁棒性。