[论文解读] On the Packing Chromatic Number on Hamming Graphs and General Graphs

Graciela Nasini, Daniel Severín+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文为汉明图 $H_{q,m}$ 在 $m=2,3$ 时建立了直接公式，并通过整数线性规划为 $m \geq 4$ 提供了改进的上界。此外，本文提出了一种从 PCN 问题到最大稳定集（MSS）问题的多项式时间归约，通过构造图 $G_*^{[d-1]}$ 实现，使得可通过 MSS 求解器高效计算 PCN，尤其在维度高达 13 的超立方体上取得显著改进。

ABSTRACT

The packing chromatic number $χ_ρ(G)$ of a graph $G$ is the smallest integer $k$ needed to proper color the vertices of $G$ in such a way the distance between any two vertices having color $i$ be at least $i+1$. We obtain $χ_ρ(H_{q,m})$ for $m=3$, where $H_{q,m}$ is the Hamming graph of words of length $m$ and alphabet with $q$ symbols, and tabulate bounds of them for $m \geq 4$ up to 10000 vertices. We also give a polynomial reduction from the problem of finding $χ_ρ(G)$ to the Maximum Stable Set problem.

研究动机与目标

• 确定汉明图 $H_{q,m}$ 在 $m=2,3$ 且任意 $q$ 时的精确打包色数 $\chi_{\rho}(H_{q,m})$。
• 使用整数线性规划，为 $m \geq 4$ 且顶点数最多为 10,000 的情况计算 $\chi_{\rho}(H_{q,m})$ 的紧致上界。
• 建立打包色数问题到最大稳定集（MSS）问题的多项式时间归约。
• 使 $\chi_{\rho}(G)$ 在以往方法不适用的图上实现高效计算，特别是针对 $q \geq 3$ 的超立方体与汉明图。

提出的方法

• 通过归纳法与 Brešar 等人（2007 年）已知的下界，推导出 $\chi_{\rho}(H_{q,m})$ 的闭式表达式，证明在 $m=2,3$ 时等式成立。
• 应用引理 1.1，将 $\chi_{\rho}(H_{q,m}) = m-1 + q^m - \alpha(H_{q,m}^{[m-1]})$ 表达，将问题转化为计算 $H_{q,m}^{[m-1]}$ 的稳定性数。
• 使用整数线性规划计算 $m \geq 4$ 时 $\chi_{\rho}(H_{q,m})$ 的上界，利用 PCN 与稳定性数之间的关系。
• 从 $G^{[d-1]}$ 构造新图 $G_*^{[d-1]}$，通过添加一个与所有 $(v,k)$ 顶点相连的全域顶点 $*$，实现向 MSS 的多项式时间归约。
• 证明 $\chi_{\rho}(G) = (d-1) + n - \alpha(G_*^{[d-1]})$，使得可通过 MSS 求解器精确计算 PCN。
• 利用该归约改进超立方体的上界：$\chi_{\rho}(H_{2,11}) \leq 857$（由 881 降低），并计算出 $\chi_{\rho}(H_{2,12}) \leq 1707$，$\chi_{\rho}(H_{2,13}) \leq 3641$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 $q \geq 2$，$m=2$ 和 $m=3$ 时打包色数 $\chi_{\rho}(H_{q,m})$ 的精确值是多少？
• RQ2 当 $m \geq 4$ 且顶点数最多为 10,000 时，能否计算出 $\chi_{\rho}(H_{q,m})$ 的紧致上界？
• RQ3 是否存在打包色数问题到最大稳定集问题的多项式时间归约？
• RQ4 所提出的归约能否用于计算或改进 $q \geq 3$ 的超立方体与汉明图等图的 $\chi_{\rho}(G)$ 的值或上界，其中先前结果有限？

主要发现

• 对于 $m=2$ 和 $m=3$，本文确立了 $\chi_{\rho}(H_{q,m}) = m-1 + q^m - \alpha(H_{q,m}^{[m-1]})$，且该公式为等式。
• 本文通过整数线性规划将 11 维超立方体的打包色数上界从 881 改进至 857。
• 对于 12 维超立方体，上界计算为 $\chi_{\rho}(H_{2,12}) \leq 1707$；对于 13 维超立方体，上界为 $\chi_{\rho}(H_{2,13}) \leq 3641$。
• 建立了多项式时间归约：$\chi_{\rho}(G) = (d-1) + n - \alpha(G_*^{[d-1]})$，其中 $G_*^{[d-1]}$ 是通过向 $G^{[d-1]}$ 添加一个全域顶点构造的图。
• 该归约使得可利用 MSS 求解器计算或界定 $\chi_{\rho}(G)$，尤其适用于 $\alpha(G^{[k]})$ 难以直接计算的图。
• 该方法通过将问题归约为大小为 $(n+1)(d-1)$ 的图的稳定性数，使直径 $d \geq 2$ 的图的 $\chi_{\rho}(G)$ 得以计算。