[论文解读] On the Padovan sequence

Alain Faisant|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文研究了由递推关系 $T_{n+3} = T_{n+1} + T_n$ 定义的Padovan序列 $(T_n)$，初始值为 $T_0=0$，$T_1=T_2=1$，重点探讨其可除性性质、模素数的周期性以及通过三次多项式 $X^3 - X - 1$ 所体现的代数结构。关键结果表明，素数 $p$ 首次作为 $T_n$ 的因子出现的下标 $ u_p$ 满足 $ u_p \ u_p \leq t_p \leq p^{r_p} - 1$，其中 $t_p$ 为序列模 $p$ 的周期，$r_p$ 为多项式 $X^3 - X - 1$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的分裂域扩张的次数。本文进一步将这些性质与类域论联系起来，并通过条件 $p = x^2 + 23y^2$ 对满足 $r_p = 1$ 的素数进行刻画。

ABSTRACT

The aim of this article is to give some properties of the so-called Padovan sequence $(T_n)_{n \ge 0}$ defined by $$ T_{n+3}=T_{n+1}+T_n \forall n \in \mathbb{N}, T_1=T_2=T_3=1$$ that is divisibility properties, periods, identities.

研究动机与目标

• 理解Padovan序列模素数的可除性与周期行为。
• 刻画素数 $p$ 首次作为 $T_n$ 的因子出现的下标 $\omega_p$。
• 建立 $X^3 - X - 1$ 模 $p$ 的分裂域扩张次数 $r_p$ 与序列模 $p$ 周期 $t_p$ 之间的联系。
• 利用类域论刻画满足 $r_p = 1$ 的素数 $p$，并证明 $r_p = 1$ 当且仅当 $p = x^2 + 23y^2$。
• 探讨与本原因子、$T_n$ 的素性以及序列中完全幂的有限性相关的开放问题。

提出的方法

• 通过域上线性递推序列理论分析Padovan序列。
• 利用特征多项式 $T(X) = X^3 - X - 1$ 的根，通过对称函数与Vandermonde行列式，将 $T_n$ 表示为闭式表达。
• 在 $\mathbb{F}_p$ 上应用模算术研究序列模 $p$ 的周期 $t_p$，其中 $r_p$ 表示分裂域扩张 $R_p / \mathbb{F}_p$ 的次数。
• 运用类域论分析 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-23})$ 的整数环中素数的分裂行为，将 $r_p = 1$ 与表示式 $p = x^2 + 23y^2$ 联系起来。
• 利用 $\alpha^n, \beta^n, \gamma^n$ 属于三维 $K$-向量空间 $\mathcal{T}_K$ 的事实，推导出 $T_n, T_{n-1}, T_{n-2}$ 之间的对称三次恒等式。
• 通过阿廷互反律与库默尔-戴德金理论，将 $\mathcal{O}_K$ 中的理想分解与 $T(X) \mod p$ 的分裂性关联，从而实现对 $r_p = 1$ 的刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $r_p = 1$ 时，表达式 $T_n = aT_{n-1}T_n + bT_{n-1}^2 + cT_{n-2}^2$ 中的系数 $a, b, c$ 是否满足 $b = c = 2a$？
• RQ2 当 $r_p = 2$ 时，系数是否满足 $b = c = (p+1)a$？
• RQ3 当 $r_p = 3$ 时，系数是否满足 $a = b = c = 1 + p + p^2$？
• RQ4 $\omega_p$（即 $p$ 首次整除 $T_n$ 的下标）的精确算术性质是什么？
• RQ5 是否存在有限多个 $n$ 使得 $T_n$ 没有本原素因子？

主要发现

• Padovan序列模 $p$ 的周期 $t_p$ 满足 $t_p \leq p^{r_p} - 1$，其中 $r_p$ 为 $X^3 - X - 1$ 在 $\mathbb{F}_p$ 上的分裂域扩张次数。
• 建立了显式上界：$\omega_p \leq t_p \leq p^{r_p} - 1$，其中 $\omega_p$ 为素数 $p$ 首次整除 $T_n$ 的下标。
• 通过类域论与阿廷互反律证明，$r_p = 1$ 当且仅当 $p = x^2 + 23y^2$ 对某组整数 $x, y$ 成立。
• 序列中恰好包含三个完全平方数：$T_{10} = 9 = 3^2$，$T_{12} = 16 = 4^2$，$T_{16} = 49 = 7^2$，其平方根分别为 $T_6$、$T_7$、$T_9$。
• 推导出一个对称的三次恒等式：$T_n^3 + T_{n-1}^3 + T_{n-2}^3 - T_n T_{n-1}^2 - T_n^2 T_{n-2} + T_{n-1}^2 T_{n-2} + 2T_{n-1} T_{n-2}^2 - 3T_n T_{n-1} T_{n-2} = 1$。
• 在 $n \leq 20$ 时，整除 $T_n$ 的素数包括 $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$，且序列表现出复杂的本原因子模式，存在显著的例外情况，如 $n = 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 21, 23, 32, 33, 45$。