[论文解读] On The Pairwise Weakly Lindelof Bitopological Spaces

Adem Kılıçman, Zabidin Salleh|ArXiv.org|Jan 28, 2009

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文引入並研究了成對弱Lindelöf雙拓撲空間的概念，將弱Lindelöf空間的觀念延伸至具備兩種拓撲的空間。文章證明成對弱Lindelöf性質並非遺傳性，並透過使用序空間Ω（賦予序拓撲與離散拓撲）的反例加以說明，同時利用正則開覆蓋與閉包來特徵化相對弱Lindelöf子集。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study the notion of pairwise weakly Lindelof bitopological spaces and obtain some results. Further, we also study the pairwise weakly Lindelof subspaces and subsets, investigate some of their properties and show that a pairwise weakly Lindelof property is not a hereditary property.

研究动机与目标

• 將弱Lindelöf空間的概念延伸至雙拓撲設定，透過定義成對弱Lindelöf空間。
• 研究成對弱Lindelöf子空間與子集相對於周圍空間的性質。
• 判斷成對弱Lindelöf性質是否具有遺傳性，特別是在子空間與子集方面的關係。
• 釐清雙拓撲空間中ij-弱Lindelöf、ij-近乎Lindelöf與ij-幾乎正則性質之間的關係。

提出的方法

• 透過ij-弱Lindelöf性質定義成對弱Lindelöf空間，其中每一個ij-正則開覆蓋皆存在一個可數子族，其j-閉包可覆蓋整個空間。
• 使用ij-半正則化拓撲τ_ij^s來特徵化正則開集，並分析其在弱Lindelöf性質中的角色。
• 透過要求對於子集A的任何ij-正則開集覆蓋，其可數子族的j-閉包可覆蓋A，來應用相對弱Lindelöf子集的概念。
• 構造反例，使用序空間Ω = [1, ω₁]，賦予序拓撲τ₁與離散拓撲τ₂，以證明該性質非遺傳性。
• 證明在ij-半正則空間中，i-開遺傳ij-弱Lindelöf性質等價於每一個τ_ij^s-集皆為ij-弱Lindelöf。
• 使用相對於τ₁與τ₂兩種拓撲的閉包與內部運算元，分析相對與絕對弱Lindelöf條件。

实验结果

研究问题

• RQ1 成對弱Lindelöf性質是否具有遺傳性？特別是，成對弱Lindelöf空間的每一個子空間是否也為成對弱Lindelöf？
• RQ2 在何種條件下，子集A ⊆ X 為相對於X的ij-弱Lindelöf？這與絕對ij-弱Lindelöf性質有何差異？
• RQ3 ij-弱Lindelöf空間與ij-近乎Lindelöf或ij-幾乎正則空間之間的關係為何？
• RQ4 子集是否可能相對於X為ij-弱Lindelöf，卻在子空間拓撲下非ij-弱Lindelöf？
• RQ5 ij-弱Lindelöf性質是否在閉包或正則性條件下被保留，例如成為ij-正則閉集或i-閉開集？

主要发现

• 成對弱Lindelöf性質並非遺傳性，此點已由使用空間Ω = [1, ω₁]（賦予序拓撲與離散拓撲）的反例所證明。
• 子集Ω₀ = Ω ∖ {ω₁} 為1-開集但非12-弱Lindelöf，顯示12-弱Lindelöf空間可能具有非弱Lindelöf的子空間。
• 成對弱Lindelöf空間的閉開子集仍為成對弱Lindelöf，此點由推論15所確立。
• 在ij-半正則空間中，一空間為i-開遺傳ij-弱Lindelöf，若且唯若每一個τ_ij^s-集皆為ij-弱Lindelöf。
• 相對ij-弱Lindelöf性質的特徵化條件為：對於子集A的任何ij-正則開集覆蓋，其可數子族的j-閉包可覆蓋A。
• 本文顯示，ij-弱Lindelöf空間的i-閉集或ij-正則開集未必為ij-弱Lindelöf，表示需額外條件（如ij-正則閉集且j-開）才足夠。