[论文解读] On the paper "All functions are locally s-harmonic up to a small error" by Dipierro, Savin, and Valdinoci

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文通过证明对于任意通过 Riesz 位势定义的 s-调和型算子，其中核为 |x−y|ⁿ，只要 n ∈ (−d, 0) 且 n + d ∉ {2, 4, ...}，则 𝐵₁ 上的 Cᵏ 函数可被形如 Kₙg 的函数在 Cᵏ 范数下任意逼近，其中 g 是 𝐵₄⧵𝐵̄₃ 上光滑且紧支集的函数，从而推广了关于 s-调和函数逼近的已有结果。关键贡献在于证明了此类位势在 Cᵏ(𝐵₁) 中的稠密性，适用于广泛的一类 n ∈ (−d, 0)，推广了早期关于分数阶拉普拉斯算子的结果。

ABSTRACT

We give an appropriate version of the result in the paper by Dipierro, Savin, and Valdinoci for different, not necessarily fractional, powers of the Laplacian.

研究动机与目标

• 将 Dipierro、Savin 和 Valdinoci 关于分数阶拉普拉斯算子（s ∈ (0,1)）的逼近结果推广至更一般的 Riesz 位势，其核为 |x−y|ⁿ。
• 证明对于 n ∈ (−d, 0) 且 n + d ∉ {2, 4, ...}，𝐶ᵏ(𝐵₁) 中的函数可在 Cᵏ 范数下被 Kₙg 逼近，其中 g ∈ C∞₀(𝐵₄⧵𝐵̄₃)。
• 证明即使 Kₙg 不紧支集但具有无穷远处衰减性，此类 Kₙg 的集合在 Cᵏ(𝐵₁) 中仍为稠密。
• 提出一种新证明策略，结合卷积、拉普拉斯迭代与高斯型截断函数，以构造逼近序列。

提出的方法

• 使用光滑化核对 x ∈ 𝐵₄⧵𝐵̄₃ 的 Kₙ(x, ⋅) 进行逼近，使用光滑且紧支集的函数 g。
• 对 Kₙ(x, y) = |x−y|ⁿ 迭代应用拉普拉斯算子 Δₓ，利用恒等式 ΔₓKₙ = n(n + d − 2)Kₙ₋₂ 生成 Kₙ₋₂ₘ。
• 构造级数 ∑(1/m!)tᵐKₙ₋₂ₘ(x, ⋅)，其在 Cᵏ(𝐵₁) 中收敛，从而在闭包中构造出类似 exp(−t/|x−y|²) 的函数。
• 利用热核近似 fₜ(y) = t⁻ᵈᐟ²∫ f(x)exp(−|x−y|²/t)dx 来逼近任意 f ∈ Cᵏ(𝐵₁)，并证明 fₜ 属于 𝒮̄，即 Kₙg 集合的闭包。
• 借助 Sobolev 嵌入与 Lᵖ 估计，通过 W²ʳᵖ 范数及其对 m 的依赖关系控制 Kₘ(x, ⋅) 的 Cᵏ 范数。
• 利用 Kₙ(x−⋅) ∈ 𝒮̄ 对所有实数 n 成立，且多项式与高斯函数属于 𝒮̄ 的事实，构造 Cᵏ(𝐵₁) 中的稠密代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Dipierro、Savin 和 Valdinoci 的逼近结果（即所有 𝐶ᵏ 函数在局部可 s-调和逼近至误差）能否从 s ∈ (0,1) 推广至一般 Riesz 位势，其核为 |x−y|ⁿ（n ∈ (−d, 0)）？
• RQ2 在何种条件下，g ∈ C∞₀(𝐵₄⧵𝐵̄₃) 的 Kₙg 集合在 Cᵏ(𝐵₁) 中为稠密？
• RQ3 如何构造一个仅使用紧支集密度的 Riesz 位势的函数序列，以逼近 𝐶ᵏ(𝐵₁) 中任意给定的 f？
• RQ4 即使 Kₙg 不紧支集，其在无穷远处的衰减性是否可在保持 Cᵏ(𝐵₁) 中稠密性的同时被保留？
• RQ5 是否可利用拉普拉斯迭代与高斯型截断函数，在 Cᵏ(𝐵₁) 中生成稠密的逼近函数集合？

主要发现

• 对于所有满足 n + d ∉ {2, 4, ...} 且 n ∈ (−d, 0) 的实数 n，𝐵₁ 上形如 f = Kₙg（其中 g ∈ C∞₀(𝐵₄⧵𝐵̄₃)）的函数集合 S 在 Cᵏ(𝐵₁) 中为稠密。
• 对于此类 n，Riesz 位势 Kₙg 在 ℝᵈ 上有界且光滑，其所有导数在无穷远处衰减，尽管 g 是紧支集的。
• 证明依赖于 Kₙ(x−⋅) ∈ 𝒮̄（即 S 的闭包）对所有 x ∈ 𝐵₄⧸𝐵̄₃ 成立，通过光滑化与拉普拉斯迭代实现。
• 构造利用恒等式 ΔₓKₙ = n(n + d − 2)Kₙ₋₂ 生成 Kₙ₋₂ₘ，且系数非零确保所有此类核均属于 𝒮̄。
• 通过组合属于 𝒮̄ 的多项式与高斯函数，构造出 Cᵏ(𝐵₁) 中的稠密代数。
• 该结果对所有 k ∈ {0,1,...} 成立，且通过适当选择 g，可使 Cᵏ 范数下的逼近误差任意小。