[论文解读] On the Parallel Parameterized Complexity of MaxSAT Variants

Max Bannach, Malte Skambath+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Formal Methods in Verification被引用 1

一句话总结

本论文首次提出了关键 MaxSAT 变体的并行固定参数可满足性（para-NC）算法，包括 pk-almost-2sat 和以结构图参数为参数的 partial MaxSAT。通过利用可并行化的最大流计算与树分解上的动态规划，该工作实现了此前因依赖本质上串行的技术（如迭代压缩）而被认为难以并行化的难题的常数深度 AC 电路实现。

ABSTRACT

In the maximum satisfiability problem (MAX-SAT) we are given a propositional formula in conjunctive normal form and have to find an assignment that satisfies as many clauses as possible. We study the parallel parameterized complexity of various versions of MAX-SAT and provide the first constant-time algorithms parameterized either by the solution size or by the allowed excess relative to some guarantee ("above guarantee" versions). For the dual parameterized version where the parameter is the number of clauses we are allowed to leave unsatisfied, we present the first parallel algorithm for MAX-2SAT (known as ALMOST-2SAT). The difficulty in solving ALMOST-2SAT in parallel comes from the fact that the iterative compression method, originally developed to prove that the problem is fixed-parameter tractable at all, is inherently sequential. We observe that a graph flow whose value is a parameter can be computed in parallel and use this fact to develop a parallel algorithm for the vertex cover problem parameterized above the size of a given matching. Finally, we study the parallel complexity of MAX-SAT parameterized by the vertex cover number, the treedepth, the feedback vertex set number, and the treewidth of the input's incidence graph. While MAX-SAT is fixed-parameter tractable for all of these parameters, we show that they allow different degrees of possible parallelization. For all four we develop dedicated parallel algorithms that are constructive, meaning that they output an optimal assignment - in contrast to results that can be obtained by parallel meta-theorems, which often only solve the decision version.

研究动机与目标

• 弥合 MaxSAT 变体在固定参数可满足性与并行参数复杂性之间的差距。
• 为 pk-almost-2sat 开发首个并行算法，该问题此前因依赖迭代压缩而难以并行化。
• 将并行 fpt 工具包扩展至如树宽、顶点覆盖数和反馈顶点集数等结构参数。
• 构建显式、构造性的并行算法，输出最优赋值，而不仅判断可行性。
• 证明某些 MaxSAT 问题尽管存在串行算法依赖，仍可实现常数深度并行计算。

提出的方法

• 开发了一种在特殊 Hochbaum 网络中计算 0-1 流的并行算法，通过其结构将最大流分解为独立子流。
• 提出一种从顶点覆盖在半整数匹配之上到流问题的新规约，使 fpt 多处理器下可并行计算。
• 在树分解上应用基于配置的状态表示的动态规划以求解 partial MaxSAT。
• 设计了一种基于树分解的算法，跨树节点维护配置集（赋值、得分、子句满足性）。
• 所有操作（引入、遗忘、合并）分别使用深度为 f(k) 和 f(k)·log n 的 TC 和 AC 电路实现，大小为 f(k)·n^O(1)。
• 利用 Hochbaum 网络中最大流计算可通过分解为小而独立的流子问题来实现并行化。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管迭代压缩方法本质上是串行的，pk-almost-2sat 是否可实现 para-NC？
• RQ2 能否使用基于流的技术并行求解在半整数匹配之上的顶点覆盖问题？
• RQ3 结构参数如树宽和顶点覆盖数是否能为 partial MaxSAT 提供常数深度并行算法？
• RQ4 基于一阶或二阶逻辑的现有算法元定理是否适用于并行参数化设置下的 MaxSAT 变体？
• RQ5 是否可以为 MaxSAT 构造显式、构造性的 para-NC 算法，输出最优赋值而非仅判断可行性？

主要发现

• 本论文首次提出 pk-almost-2sat 的 para-NC 算法，解决了并行参数复杂性领域长期悬而未决的开放问题。
• 提出一种新颖的基于流的方法，实现了 Hochbaum 网络中最大流的并行计算，该网络是求解顶点覆盖在匹配之上的核心。
• 对于以树宽 k 为参数的 partial MaxSAT，论文构建了深度为 f(k)·log n、大小为 f(k)·n^O(1) 的 AC 电路，对固定 k 实现了常数深度并行性。
• 基于树分解的 partial MaxSAT 算法维护包含赋值、得分和子句满足性的配置集，并通过 TC 电路处理。
• 该方法成功绕过了算法元定理的局限性，这些定理因树宽无界且 2CNF 可满足性不可用一阶逻辑定义而失效。
• 结果表明，树宽和顶点覆盖数等结构参数可使 MaxSAT 实现日益高级别的并行化。