[论文解读] On the Parameterized Complexity of Contraction to Generalization of Trees

Akanksha Agrawal, Saket Saurabh+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 1

一句话总结

本文提出了 Tℓ-Contraction，即图收缩到树的一种参数化推广，其中通过删除至多 ℓ 条边可将图变为树。该文提出了一种 FPT 算法，时间复杂度为 O((2√ℓ + 2)^{O(k+ℓ)} · n^O(1))，并证明当以 k 为参数时，该问题不具有多项式内核，进而构造出一个大小为 O([k(k + 2ℓ)]^{⌈α/(α−1)⌉+1}) 的损失内核（lossy kernel），其中 α > 1。

ABSTRACT

For a family of graphs F, the F-Contraction problem takes as an input a graph G and an integer k, and the goal is to decide if there exists S \subseteq E(G) of size at most k such that G/S belongs to F. Here, G/S is the graph obtained from G by contracting all the edges in S. Heggernes et al.[Algorithmica (2014)] were the first to study edge contraction problems in the realm of Parameterized Complexity. They studied \cal F-Contraction when F is a simple family of graphs such as trees and paths. In this paper, we study the F-Contraction problem, where F generalizes the family of trees. In particular, we define this generalization in a "parameterized way". Let T_\ell be the family of graphs such that each graph in T_\ell can be made into a tree by deleting at most \ell edges. Thus, the problem we study is T_\ell-Contraction. We design an FPT algorithm for T_\ell-Contraction running in time O(( col)^{O(k + \ell)} * n^{O(1)}). Furthermore, we show that the problem does not admit a polynomial kernel when parameterized by k. Inspired by the negative result for the kernelization, we design a lossy kernel for T_\ell-Contraction of size O([k(k + 2\ell)] ^{(\lceil {\frac{\alpha}{\alpha-1} ceil + 1)}}).

研究动机与目标

• 研究图收缩到一类树的推广问题的参数化复杂性，其中家族 Tℓ 中的每个图均可通过删除至多 ℓ 条边变为树。
• 解决一个开放问题：当以 k 为参数时，Tℓ-Contraction 是否存在多项式内核，特别是当 ℓ=0 时（即 T-Contraction）已知不具有多项式内核。
• 在内核化结果为负面的情况下，设计一个损失内核作为替代方案，以实现实例规模的缩减。
• 通过引入参数 ℓ，将 T-Contraction（ℓ=0）的 FPT 算法推广至更广泛的图类。

提出的方法

• 定义 Tℓ 为删除至多 ℓ 条边后可变为树的图家族，从而推广标准树家族。
• 将 Heggernes 等人 [17] 提出的 T-Contraction 的 FPT 算法框架适配用于 Tℓ-Contraction，采用基于边收缩的分支策略。
• 设计三条规约规则（6.1–6.3）以简化图结构：连通点覆盖剪枝、基于邻域的高阶度顶点剪枝，以及邻域大小的有界约束。
• 证明在应用规约规则后，剩余图的大小被限制在 O([k(k + 2ℓ)]^{d+1}) 以内，其中 d = ⌈α/(α−1)⌉，从而形成一个严格的 PSAKS（多项式大小近似内核化方案）。
• 利用见证结构和收缩不变量，确保规约过程中解的等价性，从而保证损失内核保留近似解的质量。
• 证明在标准复杂性假设下，Tℓ-Contraction 不具有多项式内核，从而为采用损失内核化提供动机。

实验结果

研究问题

• RQ1 T-Contraction 问题能否推广到超越树的参数化图族，使得问题仍保持固定参数可追踪？
• RQ2 当以 k 为参数时，Tℓ-Contraction 是否对任意固定的 ℓ ≥ 0 都具有多项式内核？
• RQ3 若否，能否构造一个损失内核，既能提供良好近似，又能将实例规模缩减为 k 和 ℓ 的多项式？
• RQ4 Tℓ 中图的哪些结构特性可被利用以设计高效的 FPT 算法和内核化方案？

主要发现

• 设计了一种 Tℓ-Contraction 的 FPT 算法，时间复杂度为 O((2√ℓ + 2)^{O(k+ℓ)} · n^O(1))，推广了标准 T-Contraction 的 FPT 结果。
• 通过从已知内核化下界结果的归约，证明了当以 k 为参数时，该问题对任意固定的 ℓ ∈ ℕ 都不具有多项式内核。
• 对任意 α > 1，构造了一个大小为 O([k(k + 2ℓ)]^{⌈α/(α−1)⌉+1}) 的损失内核，形成一个严格的 PSAKS（多项式大小近似内核化方案）。
• 在应用三条规约规则后，实例的缩减大小被限制在 O([k(k + 2ℓ)]^{d+1}) 以内，其中 d = ⌈α/(α−1)⌉，确保内核既小又高效。
• 规约规则以一种可保证近似解重建的方式保持了解的质量，损失内核保证最优解大小最多被压缩为 α 倍。
• 证明依赖于见证结构和收缩不变量，表明原图中的任意解均可映射到缩减图中的解，且解大小的损失被有界控制。