[论文解读] On the Parameterized Intractability of Determinant Maximization

Naoto Ohsaka|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Advanced Graph Theory Research参考文献 42被引用 5

一句话总结

该论文证明了在多种参数化约束下行列式最大化问题的 W[1]-难解性，表明即使对于稀疏的箭头形矩阵、低秩输入以及近似因子为 $2^{-cackslashsqrt{k}}$ 的近似解，该问题依然难以求解。此外，论文提出了一个基于矩阵秩和对角线边界的 ε-加性 FPT 近似算法，表明在标准参数化复杂性假设下，该问题本质上难以被高效求解或近似。

ABSTRACT

In the Determinant Maximization problem, given an $n imes n$ positive semi-definite matrix $\bf{A}$ in $\mathbb{Q}^{n imes n}$ and an integer $k$, we are required to find a $k imes k$ principal submatrix of $\bf{A}$ having the maximum determinant. This problem is known to be NP-hard and further proven to be W[1]-hard with respect to $k$ by Koutis. However, there is still room to explore its parameterized complexity in the restricted case, in the hope of overcoming the general-case parameterized intractability. In this study, we rule out the fixed-parameter tractability of Determinant Maximization even if an input matrix is extremely sparse or low rank, or an approximate solution is acceptable. We first prove that Determinant Maximization is NP-hard and W[1]-hard even if an input matrix is an arrowhead matrix; i.e., the underlying graph formed by nonzero entries is a star, implying that the structural sparsity is not helpful. By contrast, Determinant Maximization is known to be solvable in polynomial time on tridiagonal matrices. Thereafter, we demonstrate the W[1]-hardness with respect to the rank $r$ of an input matrix. Our result is stronger than Koutis' result in the sense that any $k imes k$ principal submatrix is singular whenever $k>r$. We finally give evidence that it is W[1]-hard to approximate Determinant Maximization parameterized by $k$ within a factor of $2^{-c\sqrt{k}}$ for some universal constant $c>0$. Our hardness result is conditional on the Parameterized Inapproximability Hypothesis posed by Lokshtanov, Ramanujan, Saurab, and Zehavi, which asserts that a gap version of Binary Constraint Satisfaction Problem is W[1]-hard. To complement this result, we develop an $\varepsilon$-additive approximation algorithm that runs in $\varepsilon^{-r^2}\cdot r^{O(r^3)}\cdot n^{O(1)}$ time for the rank $r$ of an input matrix, provided that the diagonal entries are bounded.

研究动机与目标

• 研究在稀疏性和低秩等结构约束下的行列式最大化的参数化复杂性。
• 确定当允许近似解时，该问题是否依然难以求解。
• 探索行列式最大化的固定参数可追踪（FPT）近似算法是否存在。
• 全面理解该 NP-难问题在高效参数化算法方面的极限。
• 解决关于三对角或箭头形等结构矩阵上行列式最大化的可 tractability 的开放问题。

提出的方法

• 通过从 k-和问题归约，证明了在箭头形矩阵（具有星形结构的结构性稀疏矩阵）上问题的 W[1]-难解性。
• 采用基于网格填充的归约方法，建立以矩阵秩 r 为参数的 W[1]-难解性，表明即使当 k > r 时问题依然困难。
• 应用参数化不可近似性假设（PIH），证明不存在任何 FPT 算法能实现 $2^{-c\backslashsqrt{k}}$-近似，其中 c > 0 为某个绝对常数。
• 通过使用有理数近似构造输入向量的离散化版本，确保误差界 ∆ 有界，从而保证精度。
• 通过枚举离散空间中不同类型的向量，构建一个 ε-加性 FPT 近似算法，利用不同向量数量的有界性。
• 利用矩阵范数和行列式扰动界（基于引理 3.8），保证近似精度在 ε 以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输入矩阵为箭头形矩阵（即具有结构性稀疏性）时，行列式最大化是否仍为 W[1]-难？
• RQ2 当参数化为矩阵秩 r 时，即使 k > r，行列式最大化是否可在 FPT 时间内求解？
• RQ3 在参数化不可近似性假设下，是否存在常数因子的 FPT 近似？
• RQ4 当矩阵秩和对角线元素有界时，能否设计出行列式最大化的 ε-加性 FPT 近似算法？
• RQ5 在 FPT 时间内，行列式最大化的最紧可能近似因子是多少？

主要发现

• 即使输入矩阵为箭头形矩阵，行列式最大化仍为 W[1]-难，证明结构性稀疏性无法带来可追踪性。
• 即使所有 k×k 主子式在 k > r 时均为奇异矩阵，该问题在以矩阵秩 r 为参数时仍为 W[1]-难。
• 在参数化不可近似性假设下，不存在任何 FPT 算法能将行列式最大化近似到 $2^{-c\backslashsqrt{k}}$ 因子内，其中 c > 0 为某个绝对常数。
• 存在一个 ε-加性 FPT 近似算法，其时间复杂度为 $\varepsilon^{-r^2} \cdot r^{O(r^3)} \cdot n^{O(1)}$，前提是所有对角线元素有界。
• 近似保证通过行列式扰动界证明：$|\det(AS) - \det(BS)| \leq 3 \cdot d^{2d+1} \cdot \Delta$，其中 $\Delta = \varepsilon / (6 \cdot d^{2d+1})$。
• 离散化输入中不同向量的数量被限制在 $\left(\frac{2}{\Delta} + 1\right)^d$ 以内，从而可在 FPT 时间内高效枚举。