[论文解读] On the passage from atomistic systems to nonlinear elasticity theory

Julian Braun, Bernd Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2011

Force Microscopy Techniques and Applications参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文通过 $Γ$-收敛方法，严格从具有普遍有限范围相互作用（包括键角依赖性和多极子效应）的原子系统推导出非线性弹性泛函。它将连续能量密度作为细胞问题的解建立起来，表明极限能量是拟凸的，且仅在小应变下与Cauchy-Born规则一致，同时超越了Cauchy关系的限制。

ABSTRACT

We derive continuum limits of atomistic models in the realm of nonlinear elasticity theory rigorously as the interatomic distances tend to zero. In particular we obtain an integral functional acting on the deformation gradient in the continuum theory which depends on the underlying atomistic interaction potentials and the lattice geometry. The interaction potentials to which our theory applies are general finite range models on multilattices which in particular can also account for multi-pole interactions and bond-angle dependent contributions. Furthermore, we discuss the applicability of the Cauchy-Born rule. Our class of limiting energy densities consists of general quasiconvex functions and the class of linearized limiting energies consistent with the Cauchy-Born rule consists of general quadratic forms not restricted by the Cauchy relations.

研究动机与目标

• 从具有普遍有限范围相互作用（包括多体作用和键角依赖势能）的原子系统中，严格推导出连续非线性弹性泛函。
• 将极限能量密度作为细胞问题公式的结果建立起来，以捕捉晶格胞元上完整的离散梯度。
• 分析Cauchy-Born规则在非线性区域内的有效性和局限性，表明其仅在小应变下成立。
• 证明极限能量密度是拟凸的，且不受Cauchy关系的限制，即使在复杂相互作用下亦然。
• 将先前针对成对相互作用的结果推广至更丰富的相互作用模型，包括Stillinger-Weber型势能。

提出的方法

• 使用 $Γ$-收敛方法，在晶格间距趋于零（$\varepsilon \to 0$）的极限下，从离散原子能量过渡到连续极限。
• 将极限能量表述为基于晶格胞元上离散形变梯度 $\bar{\nabla}y(x)$ 的细胞问题所导出的积分泛函。
• 应用局部化方法和抽象紧致性性质，以验证Alicandro与Cicalese（2004）提出的积分表示框架中的假设。
• 构建精心设计的离散形变插值方法，以在每个胞元上编码完整的 $d \times 2^d$ 离散梯度，替代成对相互作用模型中使用的切片技术。
• 应用可测多值函数理论，以确保存在一个可测场 $s(x)$ 最小化细胞能量，从而实现连续能量的表示。
• 利用相互作用势能的生长和连续性条件，以保证细胞问题中下确界半连续性和最小化解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从具有有限范围、多体相互作用（包括键角依赖性）的原子模型中推导出普遍的非线性弹性泛函？
• RQ2 在非线性区域中，Cauchy-Born规则在何种条件下成立，又在何种条件下失效？
• RQ3 对于普遍的原子相互作用，极限连续能量密度的结构是什么？其与拟凸性的关系如何？
• RQ4 如何通过 $Γ$-收敛和细胞问题，严格建立非成对相互作用的离散到连续极限？
• RQ5 极限能量密度能否捕捉到Cauchy关系被违反的材料，例如Stillinger-Weber型复杂势能中的材料？

主要发现

• 极限连续能量密度由一个关于形变梯度的拟凸函数给出，该函数通过涉及晶格胞元上离散梯度的细胞问题公式推导得出。
• 该理论适用于多晶格上的普遍有限范围相互作用，包括多极子和键角依赖性贡献，如Stillinger-Weber势能所示。
• Cauchy-Born规则仅在小应变极限下被恢复；在非线性区域中，极限能量通常不等于Cauchy-Born能量。
• 与Cauchy-Born规则一致的线性化极限能量类由一般二次型构成，不受Cauchy关系限制，可实现物理上合理的各向异性响应。
• 极限能量泛函表示为细胞能量密度的积分，其中对辅助场 $s$ 的最小化确保了正确的连续极限。
• 通过可测多值函数理论，可保证可测最小化场 $s(x)$ 的存在性，从而确保连续能量在 $L^q$ 空间中的表示。