[论文解读] On the pathwidth of almost semicomplete digraphs

Kenta Kitsunai, Yasuaki Kobayashi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于计算 $h$-半完全有向图路径宽的固定参数可追踪算法——这是半完全有向图的推广，其中每个顶点最多有 $h$ 个非邻居——时间复杂度为 $(h+2k+1)^{2k}n^{O(1)}$，参数为 $k$。此外，本文证明了任意路径宽至少为 $f(k,h)$ 的 $h$-半完全有向图必定包含一个路径宽至少为 $k$ 的半完全子图，从而使得在固定 $h$ 的情况下，该类图中拓扑包含问题存在多项式时间算法。

ABSTRACT

We call a digraph {\em $h$-semicomplete} if each vertex of the digraph has at most $h$ non-neighbors, where a non-neighbor of a vertex $v$ is a vertex $u eq v$ such that there is no edge between $u$ and $v$ in either direction. This notion generalizes that of semicomplete digraphs which are $0$-semicomplete and tournaments which are semicomplete and have no anti-parallel pairs of edges. Our results in this paper are as follows. (1) We give an algorithm which, given an $h$-semicomplete digraph $G$ on $n$ vertices and a positive integer $k$, in $(h + 2k + 1)^{2k} n^{O(1)}$ time either constructs a path-decomposition of $G$ of width at most $k$ or concludes correctly that the pathwidth of $G$ is larger than $k$. (2) We show that there is a function $f(k, h)$ such that every $h$-semicomplete digraph of pathwidth at least $f(k, h)$ has a semicomplete subgraph of pathwidth at least $k$. One consequence of these results is that the problem of deciding if a fixed digraph $H$ is topologically contained in a given $h$-semicomplete digraph $G$ admits a polynomial-time algorithm for fixed $h$.

研究动机与目标

• 将路径宽的固定参数可追踪算法从半完全有向图扩展到更广泛的 $h$-半完全有向图类，其中每个顶点最多有 $h$ 个非邻居。
• 建立 $h$-半完全有向图的结构性质，以确保当整体路径宽较大时，其必然包含高路径宽的半完全子图。
• 为固定 $h$ 的 $h$-半完全有向图类提供拓扑包含与边不相交路径问题的多项式时间算法，推广此前仅适用于半完全有向图的结果。
• 通过将此类结果推广至半完全有向图之外，为有向图的图极小化器型结果提供理论基础。

提出的方法

• 基于迭代袋构造与顶点排序设计动态规划算法，利用 $h$-半完全有向图的有界非邻居性质。
• 采用参数化方法，以 $k$ 为目标路径宽，通过在有界搜索空间中探索所有可能的 $h+2k+1$ 个顶点集合组合来构建路径分解。
• 利用每个顶点非邻居数的组合界，限制路径分解构造过程中需探索的配置数量。
• 使用基于鞅的概率论证分析子图中随机独立集的期望大小，支持关于子图密度与路径宽的结构引理。
• 建立函数 $f(k,h)$，使得任意路径宽至少为 $f(k,h)$ 的 $h$-半完全有向图必定包含路径宽至少为 $k$ 的半完全子图，利用极值组合与结构分解。
• 整合算法与结构结果，证明对于固定 $h$，在 $h$-半完全有向图 $G$ 中判断固定有向图 $H$ 是否存在拓扑包含关系可在多项式时间内求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以路径宽参数 $k$ 为固定参数，在 $h$-半完全有向图上以固定参数可追踪时间计算其路径宽？
• RQ2 何种结构性质可确保 $h$-半完全有向图中高路径宽意味着存在高路径宽的半完全子图？
• RQ3 $h$-半完全有向图类是否支持拓扑包含与边不相交路径等问题的多项式时间算法，从而推广此前仅适用于半完全有向图的结果？
• RQ4 每个顶点最多有 $h$ 个非邻居的有界非邻居性质如何影响路径宽及相关问题的算法可解性？
• RQ5 该路径宽计算算法能否推广至其他具有有界非邻居或类似结构约束的有向图类？

主要发现

• 开发出一种算法，可在 $(h+2k+1)^{2k}n^{O(1)}$ 时间内，对任意 $n$ 个顶点的 $h$-半完全有向图 $G$ 计算出宽度至多为 $k$ 的路径分解，或正确判断出 $\text{pw}(G) > k$。
• 该算法将 Pilipczuk 针对半完全有向图的 $k^{O(k)}n^2$ 结果推广至更广泛的 $h$-半完全有向图类。
• 存在一个函数 $f(k,h)$，使得每个路径宽至少为 $f(k,h)$ 的 $h$-半完全有向图必定包含路径宽至少为 $k$ 的半完全子图。
• 作为推论，对于固定 $h$，判断固定有向图 $H$ 是否在 $h$-半完全有向图 $G$ 中拓扑包含的问题可在多项式时间内求解。
• 该结构结果表明，$h$-半完全有向图中高路径宽必然导致稠密半完全子图的存在，从而支持算法约化。
• 本文建立了 $h$-半完全有向图中路径宽与子图包含之间的联系，将已知的半完全有向图结果推广至更广泛的有向图类。