[论文解读] On the pathwise uniqueness of solutions of one-dimensional stochastic differential equations with jumps

Mohsine Benabdallah, Siham Bouhadou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文为带跳的单变量随机微分方程（SDEs）建立了新的基于局部时间的条件（LT），将经典扩散过程的结果推广至跳跃-扩散SDEs。通过利用局部时间与伊藤公式，作者在不依赖近似方法的前提下证明了路径唯一性与比较定理，并将该框架应用于对称稳定Lévy驱动的SDEs以及跳跃系数满足最小正则性假设的谱正Lévy过程。

ABSTRACT

We consider one-dimensional stochastic differential equations with jumps in the general case. We introduce new technics based on local time and we prove new results on pathwise uniqueness and comparison theorems. Our approach are very easy to handled and don't need any approximation approach. Similar equations without jumps were studied in the same context by \cite{Le Gall}, \cite{Ouknine} and others authors. As an application we get a new condition on the pathwise uniqueness for the solutions to stochastic differential equations driven by a symmetric stable Lévy processes.

研究动机与目标

• 将路径唯一性的（LT）条件从扩散过程推广至跳跃-扩散SDEs。
• 为带跳的SDEs提出一种基于局部时间的新（LT）条件，确保路径唯一性而不依赖近似方法。
• 将Bass及Benabdallah等人的比较定理推广至带跳的SDEs。
• 在较弱条件下证明由谱正稳定Lévy过程驱动的SDEs的路径唯一性。
• 提供一个统一且易于处理的框架，利用局部时间避免复杂的近似技术。

提出的方法

• 基于局部时间为跳跃-扩散SDEs引入一种新的（LT）条件，推广经典扩散过程中的（LT）条件。
• 对两个解的差值应用Tanaka公式，通过局部时间与跳跃贡献分解其正部。
• 利用（LT）条件消除分解中的局部时间与跳跃项，简化解的比较。
• 应用带局部时间的伊藤公式，推导解差值正部的期望的微分不等式。
• 通过确保漂移与跳跃系数满足单调性条件，防止路径交叉，从而建立比较定理。
• 通过验证跳跃核与扩散系数上的（LT）条件，将该框架应用于稳定过程与谱正Lévy过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种扩散与跳跃系数条件下，一维带跳SDEs的路径唯一性成立？
• RQ2 能否通过局部时间技术将扩散过程中的（LT）条件推广至带跳的SDEs？
• RQ3 如何在不依赖近似方法的前提下建立带跳SDEs的比较定理？
• RQ4 何种条件可确保由对称稳定Lévy过程驱动的SDEs的路径唯一性？
• RQ5 能否验证谱正Lévy驱动的SDEs在非减跳跃系数下的（LT）条件？

主要发现

• 本文为带跳SDEs提出了一种新的（LT）条件，确保路径唯一性，且无需依赖近似技术。
• 已验证对称稳定Lévy过程驱动的SDEs满足（LT）条件，将路径唯一性结果推广至该类过程。
• 在漂移与跳跃系数满足较弱单调性条件时，建立了带跳SDEs的比较定理。
• 对于谱正Lévy驱动的SDEs，当扩散系数非减且跳跃函数满足单调性条件时，路径唯一性成立。
• 基于局部时间的方法成功消除了解差值中的跳跃项与局部时间项，实现了直接比较。
• 该框架推广了现有结果，包括Bass与Peng–Zhu的工作，且对系数的正则性要求更少。