[论文解读] On the pedant tree-connectivity of graphs

Yaping Mao|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Interconnection Networks and Systems参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文引入并分析了pedant树连通性，这是一种广义图连通性的特殊形式，其中连接顶点集S的Steiner树必须将S中的所有顶点作为叶子。本文建立了k-pedant树连通性的紧致界，刻画了达到极端值（0，n−k，n−k−1，n−k−2）的图，并推导了图与其补图之间pedant树连通性的和与积的Nordhaus-Guddum型不等式，证明了紧致界和结构刻画。

ABSTRACT

The concept of pedant tree-connectivity was introduced by Hager in 1985. For a graph $G=(V,E)$ and a set $S\subseteq V(G)$ of at least two vertices, \emph{an $S$-Steiner tree} or \emph{a Steiner tree connecting $S$} (or simply, \emph{an $S$-tree}) is a such subgraph $T=(V',E')$ of $G$ that is a tree with $S\subseteq V'$. For an $S$-Steiner tree, if the degree of each vertex in $S$ is equal to one, then this tree is called a \emph{pedant $S$-Steiner tree}. Two pedant $S$-Steiner trees $T$ and $T'$ are said to be \emph{internally disjoint} if $E(T)\cap E(T')=\varnothing$ and $V(T)\cap V(T')=S$. For $S\subseteq V(G)$ and $|S|\geq 2$, the \emph{local pedant-tree connectivity} $τ_G(S)$ is the maximum number of internally disjoint pedant $S$-Steiner trees in $G$. For an integer $k$ with $2\leq k\leq n$, \emph{$k$-pedant tree-connectivity} is defined as $τ_k(G)=\min\{τ_G(S)\,|\,S\subseteq V(G),|S|=k\}$. In this paper, we first study the sharp bounds of pedant tree-connectivity. Next, we obtain the exact value of a threshold graph, and give an upper bound of the pedant-tree $k$-connectivity of a complete multipartite graph. For a connected graph $G$, we show that $0\leq τ_k(G)\leq n-k$, and graphs with $τ_k(G)=n-k,n-k-1,n-k-2,0$ are characterized in this paper. In the end, we obtain the Nordhaus-Guddum type results for pedant tree-connectivity.

研究动机与目标

• 研究图中pedant树连通性的紧致界。
• 确定阈值图中k-pedant树连通性的精确值。
• 为完全多部图中的k-pedant树连通性建立上界。
• 刻画达到k-pedant树连通性极端值的图：τk(G) = 0, n−k, n−k−1, n−k−2。
• 推导图与其补图之间pedant树连通性的和与积的Nordhaus-Guddum型结果。

提出的方法

• 将pedant S-Steiner树定义为S-树，其中S中所有顶点的度数均为1。
• 将局部pedant-tree连通性τG(S)定义为内部点不相交的pedant S-Steiner树的最大数量。
• 将k-pedant树连通性τk(G)定义为V(G)中所有k元子集S的τG(S)的最小值。
• 使用极值图论和结构分析推导τk(G)的界，包括τk(G) ≤ n−k和τk(G) ≥ 0。
• 利用补图结构推导τk(G) + τk(G̅)和τk(G) · τk(G̅)的Nordhaus-Guddum型不等式。
• 通过度条件和连通性性质刻画达到界等号的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阶为n的图，k-pedant树连通性的紧致上界和下界是什么？
• RQ2 阈值图中k-pedant树连通性的精确值是什么？
• RQ3 完全多部图中k-pedant树连通性的上界是什么？
• RQ4 哪些图满足τk(G) = 0, n−k, n−k−1, 或 n−k−2？
• RQ5 τk(G)和τk(G̅)的和与积的Nordhaus-Guddum型界是什么？在什么情况下这些界是紧致的？

主要发现

• 对于任意阶为n的连通图G，有0 ≤ τk(G) ≤ n−k，且所有界都是紧致的。
• 存在满足τk(G) = n−k的图，其特征为存在一个度数为n−1的顶点，且该顶点的所有邻居都在某个k元子集S中。
• 存在满足τk(G) = n−k−1的图，其特征为特定的度分布和连通性结构。
• 满足τk(G) = n−k−2的图由度和连通性约束的组合所刻画。
• 对于阶为n且满足3 ≤ k ≤ n的任意连通图G，有Nordhaus-Guddum型不等式τk(G) + τk(G̅) ≤ n−k，且该界是紧致的。
• 乘积界τk(G) · τk(G̅) ≤ ⌊(n−k)/2⌋²也是紧致的，在特定极值情况下取等。