[论文解读] On the periodic solutions of discontinuous piecewise differential systems

Jaume Llibre, Douglas D. Novaes|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文为具有非零无扰动分量 $F_0$ 的不连续分段微分系统提出了一种新颖的平均化理论，将经典平均化方法扩展至处理 $F_0 \neq 0$ 时的周期解。主要贡献是通过李雅普诺夫–施密特约化与平均化相结合，建立了一个严格的框架以检测周期解，并通过一个具体应用在极坐标系下具有 $\theta = 0, \pi, 2\pi$ 处不连续性的摄动系统进行了验证。该方法在明确的参数条件下成功识别出唯一的小振幅极限环。

ABSTRACT

Motivated by problems coming from different areas of the applied science we study the periodic solutions of the following differential system $$x'(t)=F_0(t,x)+\varepsilon F_1(t,x)+\varepsilon^2 R(t,x,\varepsilon),$$ when $F_0$, $F_1$, and $R$ are discontinuous piecewise functions, and $\varepsilon$ is a small parameter. It is assumed that the manifold $\mathbb{Z}$ of all periodic solutions of the unperturbed system $x'=F_0(t,x)$ has dimension $n$ or smaller then $n$. The averaging theory is one of the best tools to attack this problem. This theory is completely developed when $F_0$, $F_1$ and $R$ are continuous functions, and also when $F_0=0$ for a class of discontinuous differential systems. Nevertheless does not exist the averaging theory for studying the periodic solutions of discontinuous differential system when $F_0 eq0$. In this paper we develop this theory for a big class of discontinuous differential systems.

研究动机与目标

• 将平均化理论扩展至无扰动系统（$\varepsilon = 0$）具有非平凡周期解流形 $\mathcal{Z}$ 的不连续分段微分系统，即 $F_0 \neq 0$。
• 解决在无扰动系统非退化时，研究不连续系统中周期解缺乏分析工具的问题。
• 基于平均化与李雅普诺夫–施密特约化，为具有分段 $C^m$ 向量场且由不连续流形 $\Sigma$ 分隔的系统建立严格的理论框架。
• 为这类系统中周期解的存在性提供充分条件，尤其关注 $\dim \mathcal{Z} < n$ 的情形。

提出的方法

• 形式化定义 $N$ 个不连续分段微分系统（DPDS）的类，定义在 $\mathbb{S}^1 \times D$ 上，其中向量场 $F^n$ 在互不相交的闭区域 $\overline{S_n}$ 上连续，不连续性出现在一个分段 $C^m$ 流形 $\Sigma$ 上。
• 将平均化方法应用于摄动系统 $x' = F_0(t,x) + \varepsilon F_1(t,x) + \varepsilon^2 R(t,x,\varepsilon)$，其中 $F_0$ 不连续，而 $F_1$ 和 $R$ 连续。
• 使用李雅普诺夫–施密特约化，将寻找周期解的问题转化为求解线性算子核中的一组方程，从而实现对从无扰动流形 $\mathcal{Z}$ 分支出的分岔的分析。
• 定义并验证四个关键假设（$H$，$H1$，$H2$，$H3$，$H4$），以确保平均化方法的有效性，包括流对 $\Sigma$ 的横截性、单值性非退化性，以及过渡映射的光滑性。
• 将系统变换到新时间变量 $\theta$（例如使用极坐标系中的角时间），以简化在特定角度处不连续性的分析。
• 使用符号计算（如 Mathematica/Maple）计算一阶平均化函数 $f_1(\alpha)$，并验证其对零的横截性，确保存在一个非退化的零点，对应于一个周期解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当无扰动系统（$\varepsilon = 0$）具有非平凡周期解流形 $\mathcal{Z}$（即 $F_0 \neq 0$）时，经典平均化理论能否扩展至不连续分段微分系统？
• RQ2 此类系统中周期解存在的必要与充分条件是什么，特别是当不连续流形 $\Sigma$ 与周期解相交时？
• RQ3 李雅普诺夫–施密特约化技术如何适配处理不连续向量场，并确保在 $\mathcal{Z}$ 附近存在唯一解分支？
• RQ4 向量场对不连续流形 $\Sigma$ 的横截性在小摄动下周期解的保持性中起什么作用？
• RQ5 在应用中，系统在何种显式参数条件下存在唯一的小振幅极限环？

主要发现

• 本文成功发展了一套针对 $F_0 \neq 0$ 的不连续分段系统的新型平均化理论，填补了文献中此前此类工具缺失的关键空白。
• 通过一阶平均化函数 $f_1(\alpha)$ 在零点处导数 $f_1'(a) \neq 0$ 不为零，建立了周期解存在的充分条件，确保了非退化分岔。
• 在极坐标系的具体应用中，当 $\left(b_1^+ + b_1^- + c_2^+ + c_2^- ight)\left(a_2^- - a_2^+\right) > 0$ 时，存在唯一周期解，此时满足 $f_1(a) = 0$ 的唯一 $\alpha = a = \frac{4(a_2^- - a_2^+)}{\pi(b_1^+ + b_1^- + c_2^+ + c_2^-)}$。
• 平均化函数 $f_1(\alpha)$ 显式计算为 $f_1(\alpha) = \frac{\pi}{2}\left(b_1^+ + b_1^- + c_2^+ + c_2^- ight)\alpha + 2(a_2^+ - a_2^-)$，其线性形式保证了在 $a$ 的邻域 $W$ 的边界上 $f_1(\alpha) \neq 0$，满足存在性的度数条件。
• 假设 $H$，$H1$，$H2$，$H3$ 和 $H4$ 在极坐标系示例中均已完全验证，确认了理论框架的适用性。
• 该方法确认了在给定参数约束下，摄动系统中存在唯一的小振幅极限环，且解从流形 $\mathcal{Z} = \{ (\alpha, 0) \mid r_1 \leq \alpha \leq r_2 \}$ 分支而出。