[论文解读] On the Perturbation Function of Ranking and Balance for Weighted Online Bipartite Matching

Jingxun Liang, Zhihao Gavin Tang+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2022

Optimization and Search Problems被引用 2

一句话总结

本文研究了加扰函数在加权在线二分图匹配中的作用，证明了标准函数 $ f(x) = 1 - e^{x-1} $ 是顶点加权匹配中唯一最优的选择，可实现 1−1/e 的竞争比。此外，本文表明，使用该函数的加扰排名算法在未知预算的 AdWords 问题中最多具有 0.624 的竞争比，反驳了 Vazirani（2021）的猜想，并建立了在所有加扰函数中实现 1−1/e 竞争比的普遍上界为 $ 1 - 1/e - 0.0003 $。

ABSTRACT

Ranking and Balance are arguably the two most important algorithms in the online matching literature. They achieve the same optimal competitive ratio of 1-1/e for the integral version and fractional version of online bipartite matching by Karp, Vazirani, and Vazirani (STOC 1990) respectively. The two algorithms have been generalized to weighted online bipartite matching problems, including vertex-weighted online bipartite matching and AdWords, by utilizing a perturbation function. The canonical choice of the perturbation function is f(x) = 1-e^{x-1} as it leads to the optimal competitive ratio of 1-1/e in both settings. We advance the understanding of the weighted generalizations of Ranking and Balance in this paper, with a focus on studying the effect of different perturbation functions. First, we prove that the canonical perturbation function is the unique optimal perturbation function for vertex-weighted online bipartite matching. In stark contrast, all perturbation functions achieve the optimal competitive ratio of 1-1/e in the unweighted setting. Second, we prove that the generalization of Ranking to AdWords with unknown budgets using the canonical perturbation function is at most 0.624 competitive, refuting a conjecture of Vazirani (2021). More generally, as an application of the first result, we prove that no perturbation function leads to the prominent competitive ratio of 1-1/e by establishing an upper bound of 1-1/e-0.0003. Finally, we propose the online budget-additive welfare maximization problem that is intermediate between AdWords and AdWords with unknown budgets, and we design an optimal 1-1/e competitive algorithm by generalizing Balance.

研究动机与目标

• 理解加扰函数在将 Ranking 和 Balance 算法推广到加权在线二分图匹配中的作用。
• 确定标准加扰函数 $ f(x) = 1 - e^{x-1} $ 是否是顶点加权匹配中唯一最优的。
• 研究在未知预算的 AdWords 问题中，加扰排名算法的竞争比，挑战一个长期存在的猜想。
• 建立任何加扰函数在加权在线匹配中可实现的竞争比的普遍上界。

提出的方法

• 引入一种新颖的顶点分解技术，将原图转换为具有分阶段离线顶点的虚拟图。
• 构建一个新的图 $ G' $，其中每个离线顶点根据在线顶点的到达时间被划分为多个阶段。
• 定义新的预算 $ B'_{u_i} $ 和边际收益 $ w'_{u_j v_i} $，使得仅一个离线顶点的早期阶段可与在线顶点匹配。
• 在分解图 $ G' $ 上模拟加扰平衡（MSVV）算法，证明其与原算法在 $ G $ 上的等价性。
• 证明原图 $ G $ 与 $ G' $ 的离线最优分数解保持不变，即 $ \text{OPT}(G) = \text{OPT}(G') $。
• 利用原始-对偶框架及 MSVV 的已知结果，推导出算法在 $ G $ 上的竞争比。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准加扰函数 $ f(x) = 1 - e^{x-1} $ 是否是唯一能在顶点加权在线二分图匹配中实现 1−1/e 竞争比的函数？
• RQ2 在未知预算的 AdWords 问题中，加扰排名算法可实现的最佳竞争比是多少？
• RQ3 是否存在任何加扰函数可在未知预算的 AdWords 问题中实现 1−1/e 的竞争比？
• RQ4 加权图的结构如何影响类似 Ranking 和 Balance 的贪心算法的性能？

主要发现

• 加扰函数 $ f(x) = 1 - e^{x-1} $ 是顶点加权在线二分图匹配中唯一最优的函数，可实现 1−1/e 的竞争比。
• 在无权情形下，任何加扰函数均可实现 1−1/e 的竞争比，凸显了加权情形下的关键差异。
• 使用标准函数的加扰排名算法在未知预算的 AdWords 问题中最多具有 0.624 的竞争比，反驳了 Vazirani（2021）的猜想。
• 在未知预算的 AdWords 问题中，没有任何加扰函数可实现 1−1/e 的竞争比，其上界已被证明为 $ 1 - 1/e - 0.0003 $。
• 所提出的在线预算加法福利最大化问题可通过广义的 Balance 算法实现最优的 1−1/e 竞争比。
• 所提出的顶点分解技术保持了离线最优解，并支持在线环境中动态预算更新的分析。