[论文解读] On the Planar Two-Center Problem and Circular Hulls

Haitao Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 29被引用 2

一句话总结

本文提出了一种确定性 O(n log²n) 时间复杂度的平面两点中心问题算法，优于 Chan 之前的确定性 O(n log²n log²log n) 时间复杂度结果，并与 Eppstein 的随机化 O(n log²n) 结果保持一致。其关键创新在于引入了一种新型动态圆凸包数据结构，支持在最右端位置插入时的 O(1)摊销时间更新，以及对最左端点的删除操作，从而实现 O(n) 时间的决策算法，最终得到凸位置情形下 O(n log n log log n) 时间复杂度的解决方案。

ABSTRACT

Given a set $S$ of $n$ points in the Euclidean plane, the two-center problem is to find two congruent disks of smallest radius whose union covers all points of $S$. Previously, Eppstein [SODA'97] gave a randomized algorithm of $O(n\log^2n)$ expected time and Chan [CGTA'99] presented a deterministic algorithm of $O(n\log^2 n\log^2\log n)$ time. In this paper, we propose an $O(n\log^2 n)$ time deterministic algorithm, which improves Chan's deterministic algorithm and matches the randomized bound of Eppstein. If $S$ is in convex position, then we solve the problem in $O(n\log n\log\log n)$ deterministic time. Our results rely on new techniques for dynamically maintaining circular hulls under point insertions and deletions, which are of independent interest.

研究动机与目标

• 弥合平面两点中心问题中随机化算法与确定性算法之间的差距。
• 设计在点插入与删除操作具有特定位置约束条件下，高效维护圆凸包的动态数据结构。
• 在 O(n log²n) 确定性时间复杂度内解决两点中心问题，与目前已知的最佳随机化时间复杂度保持一致。
• 改进输入点处于凸位置这一特殊情况下的时间复杂度。

提出的方法

• 设计一种动态圆凸包数据结构，支持在最右端位置插入时的 O(1) 摊销时间更新，以及对最左端点的删除操作。
• 在 O(n log n) 预处理后，开发一种线性时间决策算法来解决两点中心问题，优于 Chan 的 O(n log n) 决策时间复杂度。
• 构建一种新的并行决策算法，使用 O(n) 个处理器在 O(log n log log n) 步内完成。
• 将 Cole 的参数搜索方法与新的 O(n) 决策算法结合，实现 O(n log n log log n) 时间复杂度的优化问题求解。
• 利用改进后的决策与优化框架，以 O(n log n log log n) 时间复杂度解决两点中心问题的邻近情况。
• 利用动态圆凸包结构，以 O(n log n log log n) 时间复杂度解决凸位置情形下的两点中心问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面两点中心问题的确定性时间复杂度能否被降低至与随机化 O(n log²n) 时间复杂度结果一致？
• RQ2 何种动态数据结构能够支持在受限插入与删除操作下高效维护圆凸包？
• RQ3 在预处理后，两点中心问题的决策问题能否在 O(n) 时间内求解？
• RQ4 如何将参数搜索与改进后的决策算法结合，以获得更优的优化时间复杂度？
• RQ5 该算法能否针对凸位置情形进行专门化，以实现更优性能？

主要发现

• 本文首次提出平面两点中心问题的确定性 O(n log²n) 时间复杂度算法，与目前已知的最佳随机化时间复杂度结果一致。
• 对于邻近情况，算法达到 O(n log n log log n) 时间复杂度，相比 Chan 的 O(n log²n log²log n) 确定性时间复杂度，性能提升因子为 log n log log n。
• 在完成 O(n log n) 预处理后，开发出 O(n) 时间复杂度的决策算法，显著优于 Chan 的 O(n log n) 决策时间复杂度。
• 提出一种新型动态圆凸包数据结构，支持在最右端位置插入时的 O(1) 摊销时间更新，以及对最左端点的删除操作。
• 凸位置情形下的两点中心问题以 O(n log n log log n) 确定性时间复杂度求解，优于以往的宣称结果。
• 动态圆凸包技术本身具有独立研究价值，可推广应用于其他涉及圆凸包的几何问题。