[论文解读] On the Poincare Index of Isolated Invariant Sets

M. R. Razvan, Morteza Fotouhi|ArXiv.org|Feb 19, 2001

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文利用Conley指标理论分析平面动力系统中孤立不变集的Poincaré指标。证明了Poincaré指标大于1的临界点不可能是孤立不变集，从而表明此类点附近必然存在无穷多条同宿轨，因此推广了关于梯度向量场和二维动力系统复杂性的经典结果。

ABSTRACT

In this paper, we use Conley index theory to examine the Poincare index of an isolated invariant set. We obtain some limiting conditions on a critical point of a planar vector field to be an isolated invariant set. As a result we show the existence of infinitely many homoclinic orbits for a critical point with the Poincare index greater than one.

研究动机与目标

• 使用Conley指标理论建立二维动力系统中孤立不变集的Poincaré指标的拓扑约束。
• 研究Poincaré指标大于1对不变集结构及同宿轨存在性的影响。
• 通过证明更高指标会引发动力系统复杂性，推广经典关于梯度向量场的结果（此时临界点的Poincaré指标至多为1）。
• 证明在某些拓扑条件下，正Poincaré指标的孤立不变集必为吸引子或排斥子。
• 基于同伦与同调不变量，利用延拓与Conley指标对偶性，为经典梯度系统结果提供新证明。

提出的方法

• 将孤立不变集 I 的Poincaré指标定义为其中Conley指标的Euler示性数，记作 $\chi(h(I))$，从而推广经典单点情形下的Poincaré指标。
• 利用正规指标对与光滑Lyapunov函数的存在性，通过商空间 $N/L$ 的同伦型构造稳定的Conley指标不变量。
• 在二维情形应用Poincaré-Lefschetz对偶性，关联正向与反向流的Conley指标，得到 $H_*(N,L^+) \simeq H^{2-*}(N,L^-)$。
• 运用广义Morse不等式与Morse分解结构，将临界点Poincaré指标之和与Conley指标的Euler示性数联系起来。
• 利用Poincaré-Bendixson定理与环路的拓扑约束，排除高指标临界点邻域内存在周期轨与极限环的可能性。
• 应用形变收缩与邻域形变收缩对（NDRs），将不变集的同调与Conley指标关联，尤其针对吸引子与排斥子。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面向量场中Poincaré指标大于1的临界点能否是孤立不变集？
• RQ2 Conley指标理论对二维流形中孤立不变集的Poincaré指标施加了何种拓扑约束？
• RQ3 Poincaré指标大于1的临界点是否必然存在无穷多条同宿轨？
• RQ4 Conley指标如何与平面流形中经典Poincaré-Hopf定理及Morse理论相关联？
• RQ5 在何种条件下，孤立不变集的Conley指标同构于有限CW复形的同调？这又如何影响指标计算？

主要发现

• Poincaré指标大于1的临界点不可能是孤立不变集，因为此类点将违反Euler示性数约束 $\chi(h(I)) = \text{ind}_p(I)$。
• 孤立不变集 I 的Poincaré指标定义为 $\chi(h(I))$，该定义推广了孤立不动点的经典Poincaré指标。
• 对于具有正Poincaré指标的连通NDR孤立不变集，其必为吸引子或排斥子，且其Poincaré指标等于其Euler示性数。
• 若临界点 $x$ 满足 $\text{ind}(x) > 1$，则 $\{x\}$ 不能是孤立不变集，意味着 $x$ 的任意邻域内必包含其他不变点或轨道。
• 在任意满足 $\text{ind}(x) > 1$ 的临界点邻域内，至少存在一条同宿轨，且由拓扑持久性，存在无穷多条此类同宿轨。
• 对于包围区域 $\Omega$（内部无临界点）的同宿轨 $\gamma$，$\Omega$ 内所有轨道必须同宿于同一点，这是由于无环路存在且 $\alpha$-与 $\omega$-极限集结构所致。