[论文解读] On the polar Orlicz-Minkowski problems and the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies

Xiaokang Luo, Deping Ye+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Point processes and geometric inequalities被引用 4

一句话总结

本文引入了极 Orlicz-Minkowski 问题，建立了在 $p$-容量约束下涉及 Orlicz 泛函的优化问题的解的存在性与唯一性。证明了 $p$-容量 Orlicz-Petty 体的存在性与连续性，通过变分法与球面上的测度论分析，将经典 Minkowski 理论推广至 Orlicz 设置。

ABSTRACT

In this paper, we propose and study the polar Orlicz-Minkowski problems: under what conditions on a nonzero finite measure $μ$ and a continuous function $φ:(0,\infty) ightarrow(0,\infty)$, there exists a convex body $K\in\mathcal{K}_0$ such that $K$ is an optimizer of the following optimization problems: \begin{equation*} \inf/\sup \bigg\{\int_{S^{n-1}}φ\big( h_L \big) \,d μ: L \in \mathcal{K}_{0} \ ext{and}\ |L^\circ|=ω_{n}\bigg\}. \end{equation*} The solvability of the polar Orlicz-Minkowski problems is discussed under different conditions. In particular, under certain conditions on $φ,$ the existence of a solution is proved for a nonzero finite measure $μ$ on $S^{n-1}$ which is not concentrated on any hemisphere of $S^{n-1}.$ Another part of this paper deals with the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies. In particular, the existence of the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies is established and the continuity of the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies is proved.

研究动机与目标

• 制定并求解极 Orlicz-Minkowski 问题，该问题旨在寻找在 $p$-容量或体积约束下优化 Orlicz 类型泛函的凸体。
• 通过引入涉及 Orlicz 范数与表面测度的新变分泛函，将 $L_q$ Brunn-Minkowski 理论推广至 Orlicz 设置。
• 建立 $p$-容量 Orlicz-Petty 体的存在性与连续性，作为经典 $L_q$ Petty 体的自然推广。
• 在 Orlicz 函数 $ heta$ 满足适当条件时，证明对于不集中于任何半球面的非零有限测度 $ u$，解存在。
• 利用 $p$-容量与变分原理，将经典 Minkowski 型不等式与极小表面积理论推广至 Orlicz 设置。

提出的方法

• 将极 Orlicz-Minkowski 问题表述为在固定对偶体体积 $|K^ullet| = \rho_n$ 下，对满足 $K \notin \tilde{\rho}$ 的凸体 $K$ 进行优化，通过测度 $\nu$ 最小化 $\theta(h_L)$。
• 应用变分法推导出极小化器的欧拉-拉格朗日型方程，利用表面积测度 $S(K, \bullet)$ 与支撑函数 $h_K(u)$。
• 通过泛函 $\tilde{\rho}_{p,\theta}(K, L) = \theta\big( \frac{h_L(u)}{h_K(u)} \big) h_K(u) \big)$ 定义 $p$-容量 Orlicz-Petty 体 $M$，在满足 $|L^\bullet| = \rho_n$ 的 $L$ 上取最小值。
• 利用紧致性论证与收敛定理（例如子列 $\tilde{M}_{i_k} \to \tilde{M}$）证明极限中极小化器的存在性。
• 通过测度收敛性与 $p$-容量 $C_p(L^\bullet)$ 在 Hausdorff 收敛下的行为，建立 $p$-容量 Orlicz-Petty 体映射的连续性。
• 应用凸几何中的结果，包括 $L_q$ Minkowski 不等式与经典 Minkowski 问题，推导出 Orlicz 设置下的类比结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S^{n-1}$ 上的有限测度 $\nu$ 与连续函数 $\theta:(0,\rho) \to (0,\rho)$ 满足何种条件时，极 Orlicz-Minkowski 问题存在解？
• RQ2 如何利用 $p$-容量与 Orlicz 泛函，将 $L_q$ 极小表面积与 $L_q$ Petty 体推广至 Orlicz 设置？
• RQ3 在何种条件下，对给定凸体 $K$，$p$-容量 Orlicz-Petty 体的存在性与唯一性得以保证？
• RQ4 在 Hausdorff 收敛下，将凸体 $K$ 映射到其 $p$-容量 Orlicz-Petty 体 $M$ 的映射是否连续？
• RQ5 能否通过涉及 $p$-容量与 Orlicz 范数的变分形式，将经典 Minkowski 问题与 $L_q$ Minkowski 问题推广至 Orlicz 设置？

主要发现

• 对于任意不集中于任何半球面的非零有限测度 $\nu$ 在 $S^{n-1}$ 上，以及满足特定凸性或单调性条件的 $\theta \to \theta$，极 Orlicz-Minkowski 问题在 $|K^\bullet| = \rho_n$ 下存在解 $K \notin \tilde{\rho}$。
• $p$-容量 Orlicz-Petty 体 $M$ 对任意 $K \notin \tilde{\rho}$ 存在，且满足 $|M^\bullet| = \rho_n$；若 $\theta$ 为凸函数，则 $M$ 唯一确定。
• 从 $K \notin \tilde{\rho}$ 到其 $p$-容量 Orlicz-Petty 体 $M$ 的映射在 $K$ 的 Hausdorff 收敛下是连续的。
• 泛函 $\tilde{\rho}_{p,\theta}(K, L)$ 在满足 $|L^\bullet| = \rho_n$ 的 $L \notin \tilde{\rho}$ 上取得下确界，且极小化器 $M$ 满足涉及 $p$-容量与 Orlicz 范数的变分刻画。
• $p$-容量 Orlicz-Petty 体构造推广了经典 $L_q$ Petty 体与 $L_q$ 极小表面积，当 $\theta(t) = t^q$ 时，$G_q(K)$ 作为特例被恢复。
• 序列 $K_i \to K$ 的收敛性蕴含相关 $p$-容量 Orlicz-Petty 体 $M_i \to M$ 的收敛性，从而证明了该构造的稳定性和连续性。