[论文解读] On the pole structures of the disconnected part of hyper elliptic g loop M point super string amplitudes

Akihiro Tsuchiya|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文利用NSR形式体系，研究了在双曲椭圆情形下，亏格g、M点超弦振幅中非连通部分的极点结构。通过结合经典阿贝尔函数理论与一个关于自旋结构依赖性的猜想分解（即分解为模不变部分与魏尔斯特拉斯℘-函数依赖部分），作者提出了一套系统化的自旋结构求和方法，成功重现了已知的亏格2四点振幅结果，并在g(g+1)/2为奇数的宇称条件下，将亏格1的结果推广至更高亏格和M点振幅。

ABSTRACT

Structures of the disconnected part of higher genus superstring amplitudes restricted to the hyper elliptic cases are investigated in the NSR formalism, based on the DHoker Phong and recent results. A set of equations, which we can regard as a basic tool to sum over the spin structures of any of g loop, M point amplitudes systematically, is shown by using a classical result of Abelian functions. We discuss structures of g loop, M point massless external boson superstring amplitudes by assuming that the spin structure dependence of any of the disconnected amplitudes is only on one kind of constants, the genus g Weierstrass Pe function valued at the summation of g number of half periods chosen out of 2g+1 half periods. This is a natural generalization of the case of genus 1. This assumption will be validated by a conjectured theorem which states that the spin structure dependent part of any string amplitude will be naturally decomposed into two parts. One is composed of manifestly modular invariant functions of positions of inserting operators, and the other is the polynomial of Pe function constants related to the moduli of Riemann surfaces only. It is shown that this is actually the case for any M for g=1, and M=1,2,3 for any g. Due to a technical problem, our consideration is at present restricted to the case that g(g+1)divided by 2 is odd. Example calculations are shown for the genus 2 by the method described here. In particular, our method correctly reproduces biholomorphic 1 form of DHoker Phong result as for the four point amplitudes of the disconnected parts.

研究动机与目标

• 理解双曲椭圆情形下高亏格超弦振幅非连通部分的结构。
• 为g圈、M点振幅中的自旋结构求和发展一套系统化方法。
• 将亏格1情形下的结果（即自旋结构依赖性由魏尔斯特拉斯℘-函数在半周期处决定）推广至更高亏格。
• 验证振幅被分解为模不变部分与模依赖部分的猜想。
• 将该方法应用于亏格2情形，重现已知结果，如DHoker-Phong框架中的全纯1-形式。

提出的方法

• 利用阿贝尔函数理论中的经典结果，推导出g圈振幅中自旋结构求和的方程组。
• 假设自旋结构依赖性仅由从2g+1个半周期中选取的g个半周期之和处的亏格g魏尔斯特拉斯℘-函数编码。
• 应用一个猜想定理，将振幅依赖性分解为两部分：一部分在算符位置上显式模不变，另一部分为与黎曼曲面模参数相关的℘-函数常数的多项式。
• 在亏格2中实施该方法，聚焦于四点振幅，以验证与已知结果的一致性。
• 依赖于g(g+1)/2为奇数的技术约束，以处理自旋结构求和。
• 通过重现DHoker与Phong在亏格2四点振幅中得到的全纯1-形式结果，验证了该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双曲椭圆情形下，如何系统化地求和g圈、M点超弦振幅中的自旋结构依赖性？
• RQ2 亏格1结果（即自旋结构依赖性由魏尔斯特拉斯℘-函数决定）在多大程度上可推广至更高亏格？
• RQ3 能否通过℘-函数常数将振幅分解为模不变部分与仅依赖于黎曼曲面模参数的部分？
• RQ4 所提出的是否能正确重现已知结果，如亏格2四点振幅中的全纯1-形式？
• RQ5 在自旋结构求和的背景下，要求g(g+1)/2为奇数会带来何种限制？

主要发现

• 该方法成功重现了DHoker与Phong在亏格2四点振幅非连通部分中得到的全纯1-形式结果。
• 在亏格1情形下，自旋结构依赖性被证实由半周期处的魏尔斯特拉斯℘-函数决定，且在给定假设下可推广至更高亏格。
• 对于亏格1，以及任意亏格下M=1,2,3的情形，振幅被分解为模不变部分与模依赖部分的猜想已得到验证。
• 自旋结构求和被系统地描述为一组由经典阿贝尔函数理论导出的方程。
• g(g+1)/2必须为奇数的技术限制限制了该方法的当前适用范围，但其在关键情形（如亏格2）下仍成立。
• 该方法为计算高亏格与M点情形下非连通振幅中的极点结构提供了自洽的框架。