[论文解读] On the polyhedron of the K-partitioning problem with representative variables

Zacharie Alès, Arnaud Knippel+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2014

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于边变量和代表变量的混合整数线性规划模型，用于解决K-划分问题，通过固定聚类数量并打破对称性。文中刻画了若干面定义不等式——包括2-弦环、2-划分、团、强化三角形及猫爪不等式——并证明这些不等式显著提升了线性规划松弛的下界，尤其在具有多样化边权的完全图上效果显著。

ABSTRACT

The K-partitioning problem consists of partitioning the vertices of a graph in K sets so as to minimize a function of the edge weights. We introduce a linear mixed integer formulation with edge variables and representative variables. We consider the corresponding polyhedron and show which inequalities are facet-defining. We study several families of facet-defining inequalities and provide experimental results showing that they improve significantly the linear relaxation of our formulation.

研究动机与目标

• 通过加强线性松弛，解决K-划分问题精确算法求解方法的挑战。
• 提出一种混合整数线性规划模型，通过固定聚类数K并利用代表变量减少对称性。
• 刻画在引入代表变量的K-划分问题多面体中，哪些不等式是面定义的。
• 通过多面体分析，提升分支定界算法在图划分问题精确求解中的下界。
• 通过在完全图上的实验结果，展示面定义不等式对松弛质量的实际影响。

提出的方法

• 提出一种基于边变量（x_{u,v}）和代表变量（x_u）的混合整数线性规划模型，其中x_u表示每个聚类中编号最小的顶点。
• 将多面体P_{n,K}定义为该模型下所有可行K-划分的凸包。
• 通过变换（如T(C, S, T)）分析包含多面体的超平面中的系数关系，证明面定义条件。
• 在特定结构条件下，刻画平凡不等式、2-弦环不等式、2-划分不等式及一般团不等式为面定义不等式。
• 通过引入代表变量约束，强化标准三角形不等式，证明其在大多数情况下成为面定义不等式。
• 提出并分析四顶点子集的猫爪不等式，确定其为面定义不等式的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所提出的模型中，哪些不等式是K-划分多面体P_{n,K}的面定义不等式？
• RQ2 与仅使用边变量的标准模型相比，代表变量如何改善多面体结构？
• RQ3 在何种条件下，强化后的三角形不等式会成为面定义不等式？
• RQ4 猫爪不等式成为P_{n,K}面定义不等式的必要与充分条件是什么？
• RQ5 所识别出的面定义不等式在实际中能将线性松弛下界提升多少？

主要发现

• 当环长至少为4且满足代表条件时，2-弦环不等式是P_{n,K}的面定义不等式。
• 当两个聚类均非空且正确施加了代表约束时，2-划分不等式是面定义不等式。
• 当团大小至少为3且满足代表约束时，一般团不等式是面定义不等式。
• 通过将标准三角形不等式与代表变量约束结合而得到的强化三角形不等式，在大多数情况下成为面定义不等式，显著提升松弛下界。
• 猫爪不等式是面定义不等式，当且仅当d < b < c且a < b；当c < b或K = n−2时，面F_P不是面。
• 实验结果表明，引入这些面定义不等式可显著提升具有不同边权分布的完全图的线性松弛值。