[论文解读] On the poset of King-Non-Attacking permutations

Eli Bagno, Estrella Eisenberg+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文研究了在包含关系序下，国王非攻击排列（即相邻值相差超过1的排列）的偏序集。研究确立了[2413]和[3142]作为基本构建模块，证明了当排列不同时包含两者时，Möbius函数恒为零，并刻画了偏序集中王子与链的结构，通过这两种模式的膨胀完整描述了无王子排列的结构。

ABSTRACT

A king-non-attacking permutation is a permutation $π\in S_n$ such that $|π(i)-π(i-1)| eq 1$ for each $i \in \{2,\dots,n\}$. We investigate the structure of the poset of these permutations under the containment relation, and also provide some results on its Möbius function.

研究动机与目标

• 分析国王非攻击排列在排列包含关系下的偏序集结构。
• 通过[2413]和[3142]的膨胀，刻画无王子排列（即在偏序集中无直接前驱的排列）的特征。
• 确定偏序集中Möbius函数为零的条件。
• 通过证明存在步长为1或3的链，建立偏序集的稠密性。
• 探讨排列的宽度与其k-丰富性之间的关系，特别是k=1的情形。

提出的方法

• 利用排列图中元素间的曼哈顿距离定义宽度，证明国王排列恰好是宽度至少为3的排列。
• 应用排列包含关系的概念及王子的定义，分析偏序集的结构。
• 在国王排列的偏序集上使用Möbius函数，通过区间上的容斥原理进行计算。
• 使用归纳法与区间分解，证明当排列避开[2413]或[3142]时，Möbius函数恒为零。
• 引入集合H，即包含[2413]和[3142]的五元素国王排列，这些是K₅中唯一Möbius函数非零的排列。
• 应用排列模式、简单排列及膨胀的相关结果，描述偏序集的分层结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在国王非攻击排列的偏序集中，哪些排列无王子？它们如何被刻画？
• RQ2 国王排列偏序集的Möbius函数在何种条件下为零？
• RQ3 是否每对国王排列都可通过步长为1或3的链连接？
• RQ4 [2413]和[3142]在偏序集结构中作为基本构建模块起什么作用？
• RQ5 排列的宽度如何与其k-丰富性相关，特别是k=1的情形？

主要发现

• 所有不同时包含[2413]和[3142]的国王排列，其偏序集的Möbius函数恒为零。
• 长度为5的国王排列中，唯一Möbius函数非零的是集合H = {[24153], [35142], [42513], [31524]}中的四个排列，每个的μ值均为1。
• 一个排列无王子，当且仅当它是[2413]和[3142]这两个基本模式的膨胀。
• 对任意一对国王排列π ≺ σ，存在一条链π = π⁰ ≺ π¹ ≺ ⋯ ≺ πᵏ = σ，使得|πⁱ| − |πⁱ⁻¹| ∈ {1, 3}。
• 若某个国王排列σ仅有唯一一个王子π ∈ H，且其余所有王子均避开[2413]或[3142]，则其Möbius函数为零。
• 国王排列的偏序集具有稠密性：对任意满足π ≺ σ的区间[π, σ]，均存在长度差为1或3的链。