[论文解读] On the possibility of simple parallel computing of Voronoi diagrams and Delaunay graphs

Daniel Reem|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 51被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的组合算法，通过借鉴线性规划和光学的原理，以自然并行的方式独立处理每个Voronoi单元，从而计算Voronoi图和Delaunay图。该方法实现了高效的并行计算，并引入了一种用于凸多面体及其对偶Delaunay图的新组合表示方法。

ABSTRACT

Abstract. The Voronoi diagram is a widely used data structure. The theory of algorithms for computing Euclidean Voronoi diagrams of point sites is rich and useful, with several different and important algorithms. However, this theory has been quite steady during the last few decades in the sense that new algorithms have not entered the game. In addition, most of the known algorithms are sequential in nature and hence cast inherent difficulties on the possibility to compute the diagram in parallel. This paper presents a new and simple algorithm which enables the (combinatorial) computation of the diagram. The algorithm is significantly different from previous ones and some of the involved concepts in it are in the spirit of linear programming and optics. Parallel implementation is naturally supported since each Voronoi cell can be computed independently of the other cells. A new combinatorial structure for representing the cells (and any convex polytope) is described along the way and the computation of the induced Delaunay graph is obtained almost automatically.

研究动机与目标

• 解决长期以来Voronoi图计算难以并行化的挑战，因为以往的算法大多仍为串行处理。
• 开发一种新的组合框架，用于表示Voronoi单元和凸多面体，以支持独立计算。
• 实现Voronoi图和Delaunay图构建的自然且高效的并行化。
• 证明Delaunay图可几乎自动地从计算出的Voronoi结构中推导得出。

提出的方法

• 该算法通过借鉴线性规划和光学的组合与几何原理，独立计算每个Voronoi单元。
• 提出一种用于表示凸多面体的新组合结构，有助于编码Voronoi单元。
• 该方法采用对偶表示，使得Delaunay图能自然地从计算出的Voronoi结构中浮现。
• 该方法避免了传统的串行步骤，如分治法或扫描线法，转而依赖于独立单元的处理。
• 该算法的设计使得每个点的Voronoi单元可独立计算，从而实现真正的并行性。
• 其底层数学框架借鉴了光学波前传播和线性规划对偶性的类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 Voronoi图能否在根本上实现并行计算，而无需依赖串行预处理？
• RQ2 是否存在一种Voronoi单元的组合表示方法，能够支持独立计算与高效并行化？
• RQ3 Delaunay图能否直接且自动地从计算出的Voronoi结构中推导得出？
• RQ4 线性规划和光学的概念能否为新型Voronoi算法提供可行的理论基础？

主要发现

• 所提出的算法通过独立处理每个单元，实现了Voronoi图的组合计算，支持自然并行性。
• 提出了一种用于凸多面体的新组合结构，简化了Voronoi单元的表示与计算。
• 由于表示中的对偶性，Delaunay图作为Voronoi单元计算的副产品几乎自动地生成。
• 该方法与经典算法显著不同，避免了串行或增量式的构建步骤。
• 该算法的概念基础源自线性规划和光学，为Voronoi图计算提供了全新的视角。