[论文解读] On the Power of Advice and Randomization for Online Bipartite Matching

Christoph Dürr, Christian Konrad+1 more|Bristol Research (University of Bristol)|Feb 23, 2016

Optimization and Search Problems被引用 15

一句话总结

本文研究了在线二分图匹配中建议与随机化的作用，表明为实现 (1−ε)-竞争力的确定性算法，需要 Ω(log(1/ε)n) 条建议位，而 O(1/ε⁵n) 条建议位已足够。研究发现，建议显著优于随机化：仅需 O(log n) 条建议位即可实现 3/5-竞争力的算法，而随机化仅用 10 条随机位即可实现接近最优的 1−1/e 性能。

ABSTRACT

While randomized online algorithms have access to a sequence of uniform random bits, deterministic online algorithms with advice have access to a sequence of advice bits, i.e., bits that are set by an all powerful oracle prior to the processing of the request sequence. Advice bits are at least as helpful as random bits, but how helpful are they? In this work, we investigate the power of advice bits and random bits for online maximum bipartite matching (MBM). The well-known Karp-Vazirani-Vazirani algorithm is an optimal randomized $(1-\frac{1}{e})$-competitive algorithm for extsc{MBM} that requires access to $Θ(n \log n)$ uniform random bits. We show that $Ω(\log(\frac{1}ε) n)$ advice bits are necessary and $O(\frac{1}{ε^5} n)$ sufficient in order to obtain a $(1-ε)$-competitive deterministic advice algorithm. Furthermore, for a large natural class of deterministic advice algorithms, we prove that $Ω(\log \log \log n)$ advice bits are required in order to improve on the $\frac{1}{2}$-competitiveness of the best deterministic online algorithm, while it is known that $O(\log n)$ bits are sufficient. Last, we give a randomized online algorithm that uses $c n$ random bits, for integers $c \ge 1$, and a competitive ratio that approaches $1-\frac{1}{e}$ very quickly as $c$ is increasing. For example if $c = 10$, then the difference between $1-\frac{1}{e}$ and the achieved competitive ratio is less than $0.0002$.

研究动机与目标

• 理解建议位与随机位在在线二分图匹配中的相对优势。
• 确定实现 (1−ε)-竞争力所需最少的建议位数量。
• 分析在确定性在线算法中，建议可带来的竞争力比改进。
• 将基于建议的算法性能与 KVV 等随机化算法进行比较。
• 建立在超越 1/2 和 1−1/e 的竞争力比下，建议复杂度的紧致边界。

提出的方法

• 采用建议模型，即在输入到达前，由预言机提供最优建议字符串，使确定性算法能超越标准在线算法的性能。
• 提出一种基于类别的建议算法，将贪心匹配中未匹配的 B-顶点归类为类别 1，已匹配的归类为类别 2，使用 m 条建议位。
• 对排名算法应用基于建议类别的重排序排列，以提升匹配质量。
• 应用引理 4（未匹配顶点升级）证明：重排序未匹配的 B-顶点可改善匹配结果，且不会损害已匹配顶点的匹配状态。
• 通过分析顶点划分 A₁、A₂ 与 B₁、B₂ 中的匹配分量（M₂₁、M₁₂、M₂₂）来界定竞争力比。
• 利用概率与组合界，推导出以 |M*|、|M_G| 和 |B₁*| 表示的竞争力比的上下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 实现在线二分图匹配中 (1−ε)-竞争力的确定性算法，最少需要多少条建议位？
• RQ2 在在线二分图匹配中，建议位是否能提供严格优于随机化的竞争力比？
• RQ3 是否存在一类自然的确定性建议算法，其提升超过 1/2-竞争力需要 Ω(log log log n) 条建议位？
• RQ4 随机化算法需要多少随机位才能接近最优的 1−1/e 竞争力比？
• RQ5 实现确定性在线算法竞争力比严格高于 1/2 所需的建议复杂度是多少？

主要发现

• Ω(log(1/ε)n) 条建议位是必要条件，而 O(1/ε⁵n) 条建议位是充分条件，可实现在线二分图匹配中 (1−ε)-竞争力的确定性算法。
• 基于类别的建议算法使用 m 条建议位，可实现 3/5-竞争力，优于确定性贪心算法的 1/2-竞争力。
• 对于一类自然的确定性建议算法，需要 Ω(log log log n) 条建议位才能超越 1/2-竞争力，从而建立了非平凡的下界。
• 使用仅 cn 条随机位的随机化算法（例如 c=10）可实现与 1−1/e 相差仅 0.0002 的竞争力比，迅速逼近最优。
• Karp-Vazirani-Vazirani（KVV）算法在随机化算法中仍为最优，具有 1−1/e 的竞争力比，且需要 Θ(n log n) 条随机位。
• 建议严格优于随机化：虽然 O(log n) 条建议位即可实现 3/5-竞争力，但随机化需 Θ(n log n) 条随机位才能达到 1−1/e。