[论文解读] On the Power of Entangled Quantum Provers

Julia Kempe, Thomas Vidick|ArXiv.org|Dec 8, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文证明，除非 P = NP，否则无法通过多项式大小的半定规划（SDP）计算出拥有 entangled provers 的两 provers 量子交互证明系统的成功概率。通过构建一个针对 gap-3D-MATCHING 的 1 轮量子交互证明系统，该系统具有完美完备性和接近 1 的声名度（指数级接近 1），仅使用对数规模的工作空间和消息大小，本文建立了对 entangled 量子 provers 能力的非平凡下界。

ABSTRACT

We show that the value of a general two-prover quantum game cannot be computed by a semi-definite program ofvpolynomial size (unless P=NP), a method that has been successful in more restricted quantum games. More precisely, we show that proof of membership in the NP-complete problem GAP-3D-Matching can be obtained by a 2-prover, 1-round quantum interactive proof system where the provers share entanglement, with perfect completeness and soundness s=1-2^(-O(n)), and such that the space of the verifier and the size of the messages are O(log n). This implies that QMIP^*_{log n,1,1-2^(-O(n))} subseteq P unless P = NP and provides the first non-trivial lower bound on the power of entangled quantum provers, albeit with an exponentially small gap. The gap achievable by our proof system might in fact be larger, provided a certain conjecture on almost commuting versus nearly commuting projector matrices is true.

研究动机与目标

• 研究 entangled 量子 provers 在交互证明系统中的计算能力。
• 确定此类系统的成功概率是否能通过半定规划（SDP）来捕捉。
• 建立 QMIP*（带纠缠的量子多 provers 交互证明）表达能力的下界。
• 探讨基于 SDP 的方法在刻画量子多 provers 证明系统时的局限性。
• 研究在量子复杂性理论中，近乎交换与几乎交换投影算子矩阵的作用。

提出的方法

• 为 NP 完全问题 gap-3D-MATCHING 构建一个使用 entangled provers 的 1 轮量子交互证明系统。
• 使用一个具有 O(log n) 工作空间和 O(log n) 消息大小的验证者，实现完美完备性和声名度 1 - 2^(-O(n))。
• 采用在 m 个位置上权重为 √m 的张量积投影算子，使得任意两个投影算子至多相交于一个位置。
• 通过分析投影算子的换位子范数来限制近似对角化中的误差，并将其与几乎交换矩阵的结构联系起来。
• 应用 Tsirelson 嵌入技术及向量到可观测量的映射，将量子测量的成功率与 SDP 可行性联系起来。
• 利用一个关于近乎交换投影算子的猜想，可能将声名度间隙改进至超越指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 entangled 量子多 provers 证明系统的成功概率能否通过多项式大小的半定规划计算？
• RQ2 在量子交互证明中，实现非平凡完备性和声名度所需的最小纠缠和通信量是多少？
• RQ3 几乎交换但不交换的投影算子的存在是否意味着 SDP 放松方法在量子证明系统中存在根本性局限？
• RQ4 带有 entangled provers 的量子交互证明系统能否捕获 NP，甚至 NEXP？若能，其条件是什么？
• RQ5 当 provers 共享纠缠时，具有经典通信与量子通信的量子证明系统之间是否存在结构性差异？

主要发现

• 除非 P = NP，否则一般两 provers 量子博弈的成功概率无法通过多项式大小的半定规划计算。
• 使用 entangled provers 的 1 轮量子交互证明系统，仅需 O(log n) 工作空间和消息大小，即可在 gap-3D-MATCHING 上实现完美完备性和声名度 1 - 2^(-O(n))。
• 这表明除非 P = NP，否则 QMIP*_{log n,1,1-2^{-O(n)}} 不包含于 P，从而确立了 entangled 量子 provers 能力的非平凡下界。
• 该构造依赖于具有受控交集和换位子范数的张量积投影算子集合，其与几乎交换矩阵的结构密切相关。
• 若关于近乎交换投影算子的猜想 2 成立且 δ 为多项式或常数，则声名度间隙可显著改善至超越指数衰减。
• 该结果可扩展为：在 gap-3DM 的常数度 NEXP 完全版本下，可证明 NEXP ⊆ QMIP*_{1,s}(2,1)，其中声名度 s 在 n 上为双指数衰减。