[论文解读] On the Power of Likelihood Ratio Tests in Dimension-Restricted Submodels

Michael W. Trosset, Mingyue Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文研究了在限制到低维子模型（如三项分布中的哈迪-温伯格平衡）时，似然比检验（LRT）是否更具功效。虽然渐近理论表明受限LRT更具功效，但有限样本的反例——尤其在多项分布子模型中——表明受限LRT可能比无限制LRT功效更低，从而挑战了关于维数受限推断的长期猜想。

ABSTRACT

Likelihood ratio tests are widely used to test statistical hypotheses about parametric families of probability distributions. If interest is restricted to a subfamily of distributions, then it is natural to inquire if the restricted LRT is superior to the unrestricted LRT. Marden's general LRT conjecture posits that any restriction placed on the alternative hypothesis will increase power. The only published counterexample to this conjecture is rather technical and involves a restriction that maintains the dimension of the alternative. We formulate the dimension-restricted LRT conjecture, which posits that any restriction that replaces a parametric family with a subfamily of lower dimension will increase power. Under standard regularity conditions, we then demonstrate that the restricted LRT is asymptotically more powerful than the unrestricted LRT for local alternatives. Remarkably, however, even the dimension-restricted LRT conjecture fails in the case of finite samples. Our counterexamples involve subfamilies of multinomial distributions. In particular, our study of the Hardy-Weinberg subfamily of trinomial distributions provides a simple and elegant demonstration that restrictions may not increase power.

研究动机与目标

• 评估将备择假设限制在低维子模型是否能提高似然比检验的功效。
• 检验维数受限LRT猜想的有效性，该猜想认为维数减少总是能增强检验功效。
• 识别在有限样本中受限LRT可能无法优于无限制LRT的条件。
• 通过三项分布中的哈迪-温伯格平衡提供一个反例，以挑战关于受限推断的普遍假设。

提出的方法

• 形式化维数受限LRT猜想：即任何减少备择假设维数的限制都会提高检验功效。
• 在标准正则性条件下应用渐近理论，表明对于局部备择假设，受限LRT比无限制LRT渐近更有效。
• 通过三项分布的哈迪-温伯格子模型构建显式的有限样本反例。
• 推导在哈迪-温伯格约束下受限LRT的效能函数，并与无限制LRT进行数值比较。
• 使用数值计算表明，受限LRT的效能会在某些小范围备择假设下低于显著性水平α，表明存在偏倚。
• 将结果扩展至其他维数更高或余维数大于一的多项分布子模型，以检验反例的普适性。

实验结果

研究问题

• RQ1 将备择假设限制在低维子模型是否总是能提高似然比检验的功效？
• RQ2 在有限样本中，维数受限LRT猜想在何种条件下会失效？
• RQ3 即使子模型表现良好，受限LRT是否可能在某些备择假设下比无限制LRT功效更低？
• RQ4 在小样本量下，哈迪-温伯格三项分布模型中受限LRT与无限制LRT的效能如何比较？
• RQ5 是否存在特定参数值使得受限LRT表现出偏倚，即效能低于名义显著性水平？

主要发现

• 在标准正则性条件下，维数受限LRT猜想在渐近意义上成立，对于局部备择假设，受限LRT比无限制LRT渐近更有效。
• 在有限样本中，受限LRT可能比无限制LRT功效更低，如三项分布中哈迪-温伯格子模型的反例所示。
• 对于n=10且α=0.05的哈迪-温伯格模型，在τ=0.3附近的小范围内备择假设下，受限LRT的效能低于α，表明存在偏倚。
• 无限制LRT与受限LRT之间的效能差异并非一致；在某些区域（如τ∈(0,0.3)），受限LRT更具功效，而在其他区域（如τ∈(0.3,1)），其功效更低。
• 该反例并非病态——哈迪-温伯格子模型是一个表现良好的弯曲指数族，也是正规的一参数指数族，但仍能推翻该猜想。
• 在其他维数或余维数大于一的多项分布子模型中也存在额外反例，表明该现象并非局限于哈迪-温伯格情形。