[论文解读] On the practically interesting instances of MAXCUT

Yonatan Bilu, Amit Daniely+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了在稳定性与结构假设（如度量、稠密或局部稳定图）下求解实际有意义的MAXCUT实例的多项式时间算法。研究表明，(1+ε)-局部稳定的度量图与稠密图MAXCUT实例可被高效求解，且Ω(√n)-稳定的实例可在多项式时间内求解，显著优于先前对稳定性要求的界限。

ABSTRACT

The complexity of a computational problem is traditionally quantified based on the hardness of its worst case. This approach has many advantages and has led to a deep and beautiful theory. However, from the practical perspective, this leaves much to be desired. In application areas, practically interesting instances very often occupy just a tiny part of an algorithm's space of instances, and the vast majority of instances are simply irrelevant. Addressing these issues is a major challenge for theoretical computer science which may make theory more relevant to the practice of computer science. Following Bilu and Linial, we apply this perspective to MAXCUT, viewed as a clustering problem. Using a variety of techniques, we investigate practically interesting instances of this problem. Specifically, we show how to solve in polynomial time distinguished, metric, expanding and dense instances of MAXCUT under mild stability assumptions. In particular, $(1+ε)$-stability (which is optimal) suffices for metric and dense MAXCUT. We also show how to solve in polynomial time $Ω(\sqrt{n})$-stable instances of MAXCUT, substantially improving the best previously known result.

研究动机与目标

• 通过聚焦于实际有意义而非最坏情况的实例，弥合MAXCUT在理论最坏情况下的困难性与实际可行性之间的差距。
• 识别在何种结构与稳定性条件下，尽管MAXCUT在一般情况下是NP难的，但其在实践中仍可 tractable（可解）。
• 在非正则图的情况下，改进先前关于MAXCUT多项式时间可解性的稳定性阈值。
• 通过形式化稳定性与区分性，为“聚类要么容易要么无意义”的经验直觉提供理论基础。
• 探索在弱于先前已知假设下的稳定性条件（如局部稳定性与基于Cheeger常数的界限）下求解MAXCUT的可行性。

提出的方法

• 引入γ-局部稳定实例的概念，其中扰动被限制在同一点相连的边，从而弱化标准的γ-稳定性条件。
• 应用α-区分解的概念，即移动到任意其他割都会使目标函数减少至少α倍切换顶点的加权度之和。
• 利用图的结构性质（如度量性、稠密度（C-稠密）以及扩展性（通过Cheeger常数h））推导出多项式时间可解性。
• 采用确定性算法，通过分析边权与稳定性阈值，识别最优割中位于同一侧的顶点对。
• 利用涉及总权重τ(v)、最大边权w(v,u)与稳定性参数γ的不等式，证明某些边必为割边。
• 在假设不存在此类顶点对的前提下，通过∑ŵ²(v)与∑n(u,v)的界导出矛盾，从而得到以n表示的γ的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于(1+ε)-局部稳定的度量实例，MAXCUT能否在多项式时间内求解？
• RQ2 γ-局部稳定MAXCUT实例在多项式时间内可解的最小稳定性阈值γ是多少？
• RQ3 能否通过区分性与局部稳定性条件，改进稠密或扩展图的稳定性阈值？
• RQ4 如推论2.6所示，是否存在针对2-局部稳定度量MAXCUT实例的多项式时间算法？
• RQ5 定理1.2中γ对α与h的依赖关系能否进一步优化？

主要发现

• 对于任意ε > 0，(1+ε)-局部稳定的度量MAXCUT实例可在多项式时间内求解，达到最优稳定性阈值。
• 对于任意ε > 0与C > 1，(1+ε)-局部稳定且C-稠密的MAXCUT实例可在多项式时间内求解，其中C-稠密性排除了过度加权的边。
• 本文改进了先前结果，表明α-区分与γ-局部稳定实例仅需γ > 2 / (1 − √(1 − α²)) 即可求解，显著降低了先前界限所需的稳定性。
• 对于γ-局部稳定实例，若γ > 2 / (1 − √(1 − h²))，则可保证多项式时间可解，其中h为最大割的Cheeger常数。
• 本文证明Ω(√n)-稳定MAXCUT实例可在多项式时间内求解，优于先前已知的n-稳定性要求。
• 在假设割的同一侧不存在任意两顶点的前提下，导出了矛盾，证明当γ > √(8n+4) + 1时，此类顶点对必存在，从而证明了算法的正确性。