[论文解读] On the prime-to-$p$ part of the groups of connected components of Néron models

Bas Edixhoven|ArXiv.org|Oct 20, 1994

Advanced Topics in Algebra被引用 13

一句话总结

本文改进了迪诺·洛伦齐尼（Dino Lorenzini）对局部域上阿贝尔簇的尼罗模型连通分支群的非p部分的四步滤链。通过改进相邻商群的界并证明其最优性，作者对具有指定阿贝尔、环丛和幂零部分维数的阿贝尔簇所可能产生的群进行了完整分类。

ABSTRACT

This article improves certain results of Dino Lorenzini concerning the groups of connected components of special fibres of Néron models of abelian varieties. Lorenzini has shown the existence of a four step filtration on the prime-to-$p$ part ($p$ is the residue characteristic), and proved certain bounds for the successive quotients. We improve these bounds and show that our bounds are sharp. As an application, we give a complete classification of the groups that can arise as the prime-to-$p$ part of the group of connected components of the Neron model of an abelian variety with given dimensions for the abelian, toric and unipotent part. Hard copies of this preprint are available.

研究动机与目标

• 改进洛伦齐尼关于尼罗模型连通分支群的非p部分的四步滤链中相邻商群的界。
• 证明改进后的界是最优的，从而加强了对分支群结构的理解。
• 提供作为尼罗模型连通分支群的非p部分可能产生的群的完整分类。
• 根据尼罗模型的阿贝尔、环丛和幂零部分的维数对这些群进行分类。
• 扩展并细化算术几何中关于局部域上尼罗模型分支群结构的先前结果。

提出的方法

• 利用尼罗模型连通分支群的非p部分的四步滤链。
• 应用代数几何与群上同调的技术，分析滤链商群的结构。
• 运用对偶性和尼罗的基变换理论，将分支群与特殊纤维的几何联系起来。
• 在给定阿贝尔、环丛和幂零部分分解的阿贝尔簇背景下进行显式计算。
• 通过构造实现理论极限的实例，证明界是最优的。
• 应用尼罗模型及其特殊纤维的理论结果，推导出群论约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 洛伦齐尼四步滤链中尼罗模型连通分支群的非p部分的相邻商群的最优可能界是什么？
• RQ2 哪些有限阿贝尔群可以作为阿贝尔簇的尼罗模型连通分支群的非p部分出现？
• RQ3 尼罗模型的阿贝尔、环丛和幂零部分的维数如何限制其分支群的可能结构？
• RQ4 洛伦齐尼建立的滤链商群界是否可以进一步改进，且这些界是否是最优的？
• RQ5 基于尼罗模型的几何分解，非p部分的分支群的完整分类是什么？

主要发现

• 本文改进了洛伦齐尼关于尼罗模型连通分支群的非p部分的四步滤链中相邻商群的界。
• 改进后的界被证明是最优的，即无法进一步收紧。
• 给出了所有可能作为尼罗模型连通分支群的非p部分出现的有限阿贝尔群的完整分类。
• 该分类完全由尼罗模型的阿贝尔、环丛和幂零部分的维数决定。
• 结果以尼罗模型的几何分解为依据，给出了非p部分分支群的精确结构描述。
• 通过显式构造实现理论极限的尼罗模型，证明了界是最优的。