[论文解读] On the principal impossibility to prove P=NP

Natalia Malinina|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文主张 P ≠ NP 从本质上讲是无法被证明的，原因在于图同构的固有结构限制以及循环数在变换下的行为。通过分析准典范邻接矩阵并引入 Δn 变换，作者表明某些图无法被归一化为多项式时间可解的形式，这意味着 NP-完全性源于无法被普遍控制的拓扑不变量，从而确立了 P = NP 无法被证明的根本性障碍。

ABSTRACT

The material of the article is devoted to the most complicated and interesting problem -- a problem of P = NP?. This research was presented to mathematical community in Hyderabad during International Congress of Mathematicians. But there it was published in a very brief form, so this article is an attempt to give those, who are interested in the problem, my reasoning on the theme. It is not a proof in full, because it is very difficult to prove something, which is not provable, but it seems that these reasoning will help us to understand the problem of the combinatorial explosion more deeply and to realize in full all the problems to which we are going because of the combinatorial explosion. Maybe we will realize that the combinatorial explosion is somehow a law, such a law, which influences the World, as Newton's law of gravitation influences the fall of each thing.

研究动机与目标

• 使用图论研究阻碍 P = NP 证明的根本性障碍。
• 分析图同构和邻接矩阵变换的结构性限制。
• 证明在 Δn 变换下循环数的行为构成了证明 P = NP 的不可逾越障碍。
• 表明 Church-Turing 论题与算法归一化无法解决 NP-完全性问题，原因在于图的固有复杂性。
• 确立 P ≠ NP 不仅未被证明，而且从本质上讲是不可证明的，原因在于图转换中的拓扑不变量。

提出的方法

• 引入满足顶点图与边图双重条件的准典范邻接矩阵概念。
• 应用 Δn 变换以保持传递性，同时在不改变二元关系的前提下修改图结构。
• 根据循环数行为将图分类为三类：全息图、异律图与渐进异律图。
• 使用拓扑不变量——元素数量、二元关系系统与循环数——作为结构等价的标准。
• 证明仅在全息图（既无轮廓也无特定结构区间的图）中，循环数才能成为转换的正规不变量。
• 基于定理 [2] 和 [3] 构建算法，表明其为多项式时间复杂度，但依然无法解决 NP-完全性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在图同构的结构性限制下，NP-完全问题是否存在通用的多项式时间算法？
• RQ2 在何种条件下，邻接矩阵能同时表示顶点图与边图？
• RQ3 为何尽管进行了算法归一化，试图证明 P = NP 的尝试仍持续失败？
• RQ4 循环数在 Δn 变换下的行为如何？这对 NP-完全性意味着什么？
• RQ5 是否存在根本性的拓扑或代数障碍，阻止 NP-完全问题被约化为 P？

主要发现

• 仅在全息图中，循环数才能成为转换的正规不变量，这类图既无轮廓也无特定结构区间。
• 渐进异律图即使经过无限次变换步骤，也无法获得正规的循环数，因而对归一化具有抗性。
• 存在互不重叠的图类——其循环数行为存在根本性差异——这意味着不存在通用的多项式时间归约。
• 准典范邻接矩阵定理提供了矩阵能同时作为顶点与边邻接矩阵的充要条件。
• 尽管基于定理 [2] 和 [3] 构建了多项式时间算法，作者仍得出结论：P ≠ NP，原因在于抵抗算法控制的结构性不变量。
• 本文结论为：P = NP 不仅未被证明，而且从本质上讲是无法被证明的，原因在于图转换中的固有拓扑约束。