[论文解读] On the principal series representations of semisimple groups with Frobenius maps

Xiaoyu Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文研究了有限域上具有弗罗贝尼乌斯映射的半单代数群的主系表示。它建立了从诱导模到斯坦伯格模与简单模张量积的满同态，证明了当最高权为正则且反主导时，原始诱导模恰好是不可约的。

ABSTRACT

Let ${\bf G}$ be a simply connected semisimple algebraic group over $\Bbbk=\bar{\mathbb{F}}_q$, the algebraically closure of $\mathbb{F}_q$ (the finite field with $q=p^e$ elements), and $F$ be the standard Frobenius map. Let ${\bf B}$ be an $F$-stable Borel subgroup and ${\bf T}$ an $F$-stable maximal torus contained in ${\bf B}$. Set $G_{q^r}={\bf G}^{F^r}$ and $B_{q^r}={\bf B}^{F^r}$ for any $r>0$. This paper studies the original induced module $\op{Ind}_{\bf B}^{\bf G}λ=\Bbbk{\bf G}\otimes_{\Bbbk{\bf B}}λ$ (here $\Bbbk{\bf H}$ is the group algebra of the group ${\bf H}$, and $λ$ is a rational character of ${\bf T}$ regarded as a ${\bf B}$-module). We show that if $λ$ is regular and dominant, then there is a surjective ${\bf G}$-module homomorphism $\op{Ind}_{B_{q^r}}^{\bf G}λ ightarrow \op{St}\otimes L(λ)$ for any $r>0$, where $\op{St}$ is the infinite dimensional Steinberg module defined by Nanhua Xi. As a consequence, we show that $\op{Ind}_{\bf B}^{\bf G}λ$ is irreducible if $λ$ if and only if $λ$ is regular and antidominant. Moreover, for ${\bf G}=SL_2(\bar{\mathbb{F}}_q)$ and $0

研究动机与目标

• 理解在有限域上具有弗罗贝尼乌斯自同态的代数群背景下主系表示的结构。
• 确定诱导模 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 不可约的条件。
• 探讨无限维斯坦伯格模 $\operatorname{St}$ 在有限李型群表示理论中的作用。
• 在有限群上建立诱导模与涉及斯坦伯格模的张量积之间的同态。

提出的方法

• 利用在代数闭包 $\overline{\mathbb{F}}_q$ 上的单连通半单代数群 $\mathbf{G}$ 上的弗罗贝尼乌斯映射 $F$。
• 研究最大环面 $\mathbf{T}$ 的有理特征标 $\lambda$ 的诱导模 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda = \Bbbk\mathbf{G} \otimes_{\Bbbk\mathbf{B}} \lambda$。
• 分析李型有限群 $G_{q^r} = \mathbf{G}^{F^r}$ 及其博雷尔子群 $B_{q^r} = \mathbf{B}^{F^r}$。
• 对任意 $r > 0$ 构造一个 $\mathbf{G}$-模满同态 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda \twoheadrightarrow \operatorname{St} \otimes L(\lambda)$。
• 应用有理特征标与 $F$-稳定性理论，将诱导模的结构与斯坦伯格模联系起来。
• 使用那hua 习定义的无限维斯坦伯格模 $\operatorname{St}$ 来分析张量积结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，诱导模 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 是不可约的？
• RQ2 诱导模 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 的结构如何与斯坦伯格模 $\operatorname{St}$ 和简单模 $L(\lambda)$ 相关联？
• RQ3 弗罗贝尼乌斯映射在控制 $\mathbf{G}$ 在有限域上的表示理论中起什么作用？
• RQ4 权 $\lambda$ 的正则性与主导性如何影响诱导模的不可约性？
• RQ5 有限群 $G_{q^r}$ 上的诱导模与张量积 $\operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ 之间的精确关系是什么？

主要发现

• 当 $\lambda$ 为正则且主导时，对任意 $r > 0$，存在一个 $\mathbf{G}$-模满同态 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda \twoheadrightarrow \operatorname{St} \otimes L(\lambda)$。
• 诱导模 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 不可约当且仅当 $\lambda$ 为正则且反主导。
• 该构造依赖于那hua 习定义的无限维斯坦伯格模 $\operatorname{St}$，其在张量积结构中起核心作用。
• 对于 $\mathbf{G} = SL_2(\overline{\mathbb{F}}_q)$，结果对 $0 < \lambda < \rho$ 的主系表示提供了不可约性的完整分类。
• 从 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 到 $\operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ 的同态与弗罗贝尼乌斯扭变及博雷尔子群与环子群的 $F$-稳定性相容。
• 结果将经典 Weyl 与斯坦伯格模理论推广到具有弗罗贝尼乌斯映射的主系表示设定中。