[论文解读] On the probabilistic nature of quantum mechanics and the notion of closed systems

Jérémy Faupin, Jürg Fröhlich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文证明，在物理上合理的条件下，即使与远处的子系统纠缠，空间分离的量子系统仍可表现为有效闭合系统。通过分析两种模型——具有衰减相互作用的非相对论性粒子，以及通过交换场量子的系统——证明了远处子系统中可观测量的期望值演化独立于宇宙其余部分，从而在纠缠和非局域性存在的情况下，验证了量子力学的概率性和非信号传递特性。

ABSTRACT

The notion of "closed systems" in Quantum Mechanics is discussed. For this purpose, we study two models of a quantum-mechanical system $P$ spatially far separated from the "rest of the universe" $Q$. Under reasonable assumptions on the interaction between $P$ and $Q$, we show that the system $P$ behaves as a closed system if the initial state of $P \vee Q$ belongs to a large class of states, including ones exhibiting entanglement between $P$ and $Q$. We use our results to illustrate the non-deterministic nature of quantum mechanics. Studying a specific example, we show that assigning an initial state and a unitary time evolution to a quantum system is generally not sufficient to predict the results of a measurement with certainty.

研究动机与目标

• 建立空间隔离的量子子系统在与远处子系统纠缠时仍可视为闭合系统的条件。
• 通过表明初始态和幺正演化本身不足以确定预测测量结果，阐明量子力学的概率本质。
• 证明即使存在纠缠或远处子系统具有大量自由度，空间分离系统之间也不会发生信号传递。
• 在远处系统大小均匀的条件下，推导出与远处系统及共同环境均无关的子系统有效动力学。
• 为孤立系统可独立处理的物理直觉提供严格的理论基础，即使存在非局域关联。

提出的方法

• 构建复合系统 $ S = P \vee Q \vee E $，其中 $ P $ 和 $ Q $ 空间分离，$ E $ 为量子场环境。
• 在全希尔伯特空间 $ \mathcal{H} = \mathcal{H}_P \otimes \mathcal{H}_Q \otimes \mathcal{H}_E $ 上使用幺正时间演化 $ (U(t))_{t \in \mathbb{R}} $，可观测量属于 $ B(\mathcal{H}) $。
• 通过在 $ \mathcal{H}_{Q \vee E} $ 上取部分迹定义约化密度矩阵 $ \rho_P $，并研究 $ \mathrm{Tr}(\rho U(t)^* (A \otimes \mathds{1}) U(t)) $ 的时间演化。
• 对相互作用哈密顿量施加衰减条件（例如，$ \|H_{P,Q} \| \sim \text{dist}^{-2\alpha} $），以确保在远距离时为弱耦合。
• 应用泛函分析技术，包括霍尔德不等式和传播子的积分估计，以界定期望值中误差项的上界。
• 在远处子系统 $ Q $ 的自由度数量上获得统一估计，表明 $ P $ 的有效动力学与 $ Q $ 的大小无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，空间隔离的量子子系统 $ P $ 可以被视为闭合系统，即使其与远处子系统 $ Q $ 纠缠？
• RQ2 在 $ Q $ 大小的假设下保持一致时，能否推导出与 $ Q $ 和环境 $ E $ 均无关的 $ P $ 的有效动力学？
• RQ3 仅从初始态和幺正演化能否实现对测量结果的确定性预测？还是说量子力学本质上具有概率性？
• RQ4 即使初始态为纠缠态，空间分离系统 $ P $ 和 $ Q $ 之间是否可能发生信号传递？
• RQ5 相互作用强度随距离衰减如何影响 $ P $ 独立动力学的出现？

主要发现

• 对于一大类初始态——包括纠缠态——只要相互作用随距离衰减，$ P $ 中可观测量的期望值演化可视为 $ Q $ 不存在，其行为与之相同。
• 在相互作用哈密顿量衰减条件一致的前提下，$ P $ 的有效动力学与 $ Q $ 的自由度数量无关。
• 用 $ P $ 上的约化动力学近似全时间演化时的误差以 $ \mathcal{O}(d^{-\beta}) $ 的速率衰减，其中 $ d $ 为 $ P $ 与 $ Q $ 之间的距离，$ \beta > 0 $ 依赖于相互作用强度和衰减速率。
• 即使初始态为纠缠态，$ P $ 与 $ Q $ 之间也不会发生信号传递，这是由于相互作用强度随距离衰减所致。
• 仅从初始态和幺正演化无法确定地预测 $ P $ 上测量结果的概率分布，这证实了量子力学的内在概率性。
• 该分析严格支持了物理直觉：即使存在非局域关联，孤立系统仍可被视为闭合系统，因为远处系统的影响在远距离下可忽略。