[论文解读] On the PROP corresponding to bialgebras

Teimuraz Pirashvili|ArXiv.org|Oct 1, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 69

一句话总结

本文通过在有限集与结合型操作代数结构的双范畴上应用 Quillen 的 $Q$-构造，构建了 PROP $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$，证明其代数恰好为双代数——即具有相容乘法与共乘法的结合代数与共结合代数。关键结果通过张量幂上的置换作用，建立了迭代 Adams 操作的自然变换规则。

ABSTRACT

A PROP is a symmetric monoidal category, whose set of objects is the set of natural numbers and on objects the monoidal structure is given by the addition. An algebra over a PROP is a symmetric strict monoidal functor to the tensor category of vector spaces. We give an explicite construction of the PROP whose category of algebras is equivalent to the category of bialgebras (= associative and coassociative bialgebras).

研究动机与目标

• 提供双代数对应的 PROP 的具体、显式构造，补充现有通过生成元与关系给出的抽象表述。
• 将 $Q$-构造从双范畴推广至操作代数结构，特别是针对结合操作代数 $\mathsf{as}$。
• 证明由构造得到的 PROP $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$ 的代数恰好为域 $k$ 上的双代数。
• 利用置换对称性与张量运算，推导出双代数上迭代 Adams 操作复合的结构性公式。

提出的方法

• 将 Quillen 的 $Q$-构造应用于有限集与由结合操作代数数据丰富的态射构成的双范畴。
• 将范畴 $\mathcal{F}(\mathsf{as})$ 定义为 PROP，其态射为对 $(f, \omega^f)$，其中 $f: \underline{n} \to \underline{m}$ 为集合映射，且 $\omega^f \in \prod_{i=1}^m \mathsf{as}(|f^{-1}(i)|)$。
• 构建双范畴 $\mathcal{F}(\mathsf{as})_2$，其对象为集合，水平态射为集合函数，垂直态射属于 $\mathcal{F}(\mathsf{as})$，双态射由带有相容操作代数数据的拉回图给出。
• 对 $\mathcal{F}(\mathsf{as})_2$ 应用 $Q$-构造，得到 PROP $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$，其代数被证明为双代数。
• 定义自然变换 $\Psi^{(n,\sigma)}: H \to H$ 为 $\mu^n \circ \sigma_* \circ \Delta^n$，其中 $H$ 为双代数，该变换编码了对称群 $S_n$ 在双代数 $H$ 的 $n$ 重张量幂上的作用。
• 利用 $Q$-构造的结构与映射 $\Phi: S_n \times S_m \to S_{nm}$，推导出复合规则 $\Psi^{(n,\sigma)} \circ \Psi^{(m,\tau)} = \Psi^{(nm, \Phi(\sigma, \tau))}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 除了通过生成元与关系给出的抽象表述外，双代数对应的 PROP 是否存在显式、构造性的描述？
• RQ2 Quillen 的 $Q$-构造如何被适配于由操作代数产生的双范畴，特别是结合操作代数？
• RQ3 双代数上的自然变换 $\Psi^{(n,\sigma)}$ 是否能够系统地描述与复合？
• RQ4 迭代 Adams 操作在双代数上的复合遵循何种代数规则？

主要发现

• 通过在带有结合操作代数数据的有限集双范畴上应用 Quillen 的 $Q$-构造所构建的 PROP $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$，其代数恰好同构于域 $k$ 上的双代数。
• 由 $\mu^n \circ \sigma_* \circ \Delta^n$ 定义的自然变换 $\Psi^{(n,\sigma)}: H \to H$ 编码了对称群 $S_n$ 在双代数 $H$ 的 $n$ 重张量幂上的作用。
• 此类变换的复合满足 $\Psi^{(n,\sigma)} \circ \Psi^{(m,\tau)} = \Psi^{(nm, \Phi(\sigma, \tau))}$，其中 $\Phi: S_n \times S_m \to S_{nm}$ 为本文构造的典范映射。
• 当 $\sigma$ 为恒等置换时，$\Psi^{(n,\text{id})}$ 退化为第 $n$ 个 Adams 操作，且该复合规则推广了已知的 Adams 操作复合律。
• $\mathcal{Q}\mathcal{F}(\mathsf{as})$-代数的范畴与自由 $\mathsf{as}$-代数的范畴等价，验证了构造的正确性。
• 该构造可推广至任意集合操作代数 $\mathcal{P}$，从而在 $\mathcal{F}(\mathcal{P})_2$ 上得到一个典范的 $Q$-构造，其范畴与 $\mathsf{Free}(\mathcal{P})$ 等价。