[论文解读] On the Properties of Convex Functions over Open Sets

Yoel Drori|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文研究定义在开凸集上的 $L$-光滑凸函数，证明经典不等式 (2) 在一般情况下不适用于此类函数。构造了一个反例，表明即使在开定义域上，1-光滑凸函数也违反性质 (2)，推导出适用于开集的严格更强的下降引理，并提出一个可实现的不等式系统，可实现约束优化问题的紧致数值界逼近。

ABSTRACT

We consider the class of smooth convex functions defined over an open convex set. We show that this class is essentially different than the class of smooth convex functions defined over the entire linear space by exhibiting a function that belongs to the former class but cannot be extended to the entire linear space while keeping its properties. We proceed by deriving new properties of the class under consideration, including an inequality that is strictly stronger than the classical Descent Lemma.

研究动机与目标

• 研究 $L$-光滑凸函数在开凸集与整个空间 $\mathbb{R}^d$ 上的结构性差异。
• 解决关于经典不等式 (2) 是否在开集上成立的开放问题，该不等式已知在 $\mathbb{R}^d$ 上成立。
• 在开凸域假设下，推导出严格更强的下降引理版本。
• 构建一个可实现的不等式系统，适用于线段上 $L$-光滑凸函数，以实现约束问题中紧致数值界的逼近。

提出的方法

• 通过四个二次分量 $F_1, F_2, F_3, F_4$ 构造一个定义在开半平面上的分段二次函数 $F$，确保其 $C^1$ 连续性和凸性。
• 证明所构造的函数 $F$ 在其定义域上为 1-光滑且凸，但在特定点 $x = (0,0)^T$ 和 $y = (2,0)^T$ 处违反不等式 (2)，从而构成一个反例。
• 通过利用定义域的开性及局部光滑性性质，推导出一个严格强于经典下降引理的新不等式。
• 制定一个数值优化程序 $U_N$，捕捉线段上 $L$-光滑凸函数的必要条件，使用离散点和梯度值。
• 利用凸插值和惠特尼延拓定理，从 $U_N$ 的可行解构造出一个全局 $L$-光滑且凸的函数，确保系统的可实现性。
• 将 $U_N$ 得到的数值界与现有解析界进行比较，通过数值逼近展示其更优的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典不等式 (2)（在 $\mathbb{R}^d$ 上成立）是否也适用于定义在开凸集上的 $L$-光滑凸函数？
• RQ2 是否存在一种在开集上 $L$-光滑且凸的函数，即使其全局 $C^1$ 且光滑，仍不满足不等式 (2)？
• RQ3 是否存在一个严格强于经典下降引理的版本，适用于定义在开凸集上的 $L$-光滑凸函数？
• RQ4 能否构造一个可由线段上 $L$-光滑凸函数实现的不等式系统，以实现约束优化问题的紧致数值界？
• RQ5 与现有解析界相比，所提系统导出的数值界在紧致性和逼近质量方面表现如何？

主要发现

• 本文构造了一个定义在开半平面上的 1-光滑凸函数 $F$，其无法在保持 $L$-光滑性和凸性的情况下延拓至 $\mathbb{R}^2$，揭示了开集与全空间设定之间的根本差异。
• 该函数在 $x = (0,0)^T$ 和 $y = (2,0)^T$ 处违反不等式 (2)，证明经典不等式在开集上一般不成立。
• 推导出一个严格强于经典下降引理的新不等式，适用于定义在开凸集上的 $L$-光滑凸函数。
• 所提出的不等式系统 $U_N$ 可由定义在线段上的 $L$-光滑且凸函数实现，确保可行解对应实际函数。
• 对 $U_N$ 最优值的数值逼近所得界比现有解析界更紧致，通过对比得到验证。
• 通过惠特尼延拓定理的构造确保，$U_N$ 的任意可行解均可延拓为 $\mathbb{R}^d$ 上的全局 $L$-光滑且凸函数，从而确认了该系统的可实现性。