[论文解读] On the proximinality of ridge functions

Vugar E. Ismailov|ArXiv.org|Aug 29, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文研究了有界和连续多元函数空间中两个径向函数之和的可逼近性。利用 Garkavi、Medvedev 和 Khavinson 的结果，本文建立了可逼近性的充分必要条件，表明定义域中不可约路径长度的有界性是关键因素。主要贡献在于提出一个猜想，将可逼近性与定义域中不可约路径长度的统一有界性联系起来。

ABSTRACT

Using two results of Garkavi, Medvedev and Khavinson, we give sufficient conditions for proximinality of sums of two ridge functions with bounded and continuous summands in the spaces of bounded and continuous multivariate functions respectively. In the first case, we give an example which shows that the corresponding sufficient condition cannot be made weaker for some subsets of $\mathbb{R}^{n}$. In the second case, we obtain also a necessary condition for proximinality. All the results are furnished with plenty of examples. The results, examples and following discussions naturally lead us to a conjecture on the proximinality of the considered class of ridge functions. The main purpose of the paper is to draw readers' attention to this conjecture.

研究动机与目标

• 确定有界和连续函数空间中两个径向函数之和的可逼近性的充分必要条件。
• 研究此类函数类的可逼近性是否依赖于定义域的几何性质，特别是路径结构。
• 提供示例和理论条件，以阐明极值逼近存在的条件。
• 提出并论证一个猜想，将可逼近性与定义域中不可约路径长度的统一有界性联系起来。

提出的方法

• 利用 Garkavi、Medvedev 和 Khavinson 在函数空间中可逼近性方面的研究成果。
• 在定义域 $X \subset \mathbb{R}^n$ 中引入不可约路径的概念，以分析集合 $X$ 的结构约束。
• 应用变分分析，以控制轨道和路径上径向函数分量的变化。
• 使用线性变换，当方向线性无关时，将多变量问题简化为更简单的双变量情形。
• 通过构造具有无界路径长度的反例，证明可逼近性的失败。
• 通过涉及轨道变化和路径长度的不等式，推导出必要和充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，定义域 $X \subset \mathbb{R}^n$ 使得有界径向函数之和空间 $\mathcal{R}_b(X)$ 在 $B(X)$ 中是可逼近的？
• RQ2 当 $X$ 为紧致时，连续径向函数之和空间 $\mathcal{R}_c(X)$ 在 $C(X)$ 中何时是可逼近的？
• RQ3 能否通过 $X$ 的几何性质（如路径长度界限）来刻画 $\mathcal{R}_b(X)$ 和 $\mathcal{R}_c(X)$ 的可逼近性？
• RQ4 是否存在一个必要且充分的条件，可推广已知的简单情形结果？

主要发现

• 通过基于路径的约束和变化界，建立了 $\mathcal{R}_b(X)$ 在 $B(X)$ 中可逼近性的充分条件。
• 通过轨道变化不等式，推导出 $\mathcal{R}_c(X)$ 在 $C(X)$ 中可逼近性的必要条件，该条件与路径结构相关。
• 构造了一个例子，表明当 $I = [0,1]^2$ 为单位正方形，方向为 $(1,1)$ 和 $(1,1/2)$ 时，$\mathcal{R}_c(I)$ 在 $C(I)$ 中不是可逼近的，原因在于路径长度无界。
• 当定义域中不可约路径的长度无界时，可逼近性会失效，这通过构造在轨道上具有无界变化的一系列函数得到证明。
• 提出一个猜想：$\mathcal{R}_b(X)$ 在 $B(X)$ 中可逼近，且 $\mathcal{R}_c(X)$ 在 $C(X)$ 中可逼近，当且仅当 $X$ 中所有不可约路径的长度都统一有界。
• Medvedev 的结果（被引用）支持该条件的必要性，因其表明 $\mathcal{R}_c(X)$ 在 $C(X)$ 中闭合当且仅当路径长度统一有界。