[论文解读] On the pseudo-Hermitian invariant method for the time-dependent Non-Hermitian Hamiltonians

Boubakeur Khantoul, A. Bounames+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对时间依赖的非厄米哈密顿量的伪厄米不变量方法，该方法可在时间演化中生成实数相位。通过构建相对于动态度量的时间依赖伪厄米不变量 $I_{PH}(t)$，该框架即使在哈密顿量 $H(t)$ 并非准厄米或可观测时，也能确保幺正时间演化，其有效性通过一个时间依赖复线性势的谐振子模型得以说明。

ABSTRACT

We propose a scheme to deal with certain time-dependent non-Hermitian Hamiltonian operators $H(t)$ that generate a real phase in their time-evolution. This involves the use of invariant operators $I_{PH}(t)$ that are pseudo-Hermitian with respect to the time-dependent metric operator and which implies that the dynamics is governed by unitary time evolution. Furthermore, $H(t)$ is not generally quasi-Hermitian and does not define an observable of the system but $I_{PH}(t)$ obeys a quasi-hermiticity transformation as in the completely time-independent Hamiltonian systems case. The harmonic oscillator with a time-dependent frequency under the action of a complex time-dependent linear potential is considered as an illustrative example.

研究动机与目标

• 解决时间依赖非厄米哈密顿量在通常不满足准厄米或可观测性条件时的时间演化幺正性问题。
• 通过引入时间依赖的伪厄米不变量 $I_{PH}(t)$，建立一种即使哈密顿量 $H(t)$ 非厄米，动力学仍保持幺正的框架。
• 将时间独立系统中的准厄米变换结构推广至时间依赖系统，同时保持关键动力学特性。
• 为分析具有时间依赖参数的非厄米系统（特别是具有复时间依赖势的系统）提供系统性方法。

提出的方法

• 该方法引入一个时间依赖的度量算符，用于定义不变算符 $I_{PH}(t)$ 的伪厄米性。
• 构造的不变量 $I_{PH}(t)$ 相对于时间依赖度量为伪厄米，从而确保时间演化幺正。
• 该框架利用 $I_{PH}(t)$ 的准厄米性条件，类似于时间独立情形，尽管 $H(t)$ 本身并非准厄米。
• 时间演化由源自伪厄米不变量的幺正算符控制，确保能谱为实数且动力学一致。
• 该方法适用于 $H(t)$ 在时间演化中产生实数相位的系统，即使 $H(t)$ 不可观测或非准厄米。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过幺正动力学框架描述一个时间依赖非厄米哈密顿量，其时间演化中产生实数相位？
• RQ2 当哈密顿量非准厄米时，如何为时间依赖非厄米系统构造一个伪厄米不变量？
• RQ3 在时间演化中，不变量 $I_{PH}(t)$ 是否保持时间独立系统中所见的准厄米结构？
• RQ4 时间依赖度量算符在确保此类系统幺正性方面起什么作用？

主要发现

• 时间依赖不变量 $I_{PH}(t)$ 相对于时间依赖度量为伪厄米，即使 $H(t)$ 非准厄米，也能确保时间演化幺正。
• 由于 $I_{PH}(t)$ 的伪厄米结构，由 $H(t)$ 所支配的动力学仍保持幺正，即使 $H(t)$ 无法定义可观测量。
• 不变量 $I_{PH}(t)$ 满足与时间独立系统中类似的准厄米变换律，从而推广了已知形式体系。
• 该框架成功描述了在复时间依赖线性势作用下的频率时间依赖谐振子，作为具体实例。