[论文解读] On the q-Extensions of the Bernoulli and Euler Numbers, Related Identities and Lerch Zeta Function

Taekyun Kim, Young‐Hee Kim+1 more|ArXiv.org|Jan 2, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文通过 p-adic q-integral 引入了 λ-Bernoulli 和 λ-Euler 数的 q-扩展，推导出新恒等式，并建立与 Lerch zeta 函数的联系。主要贡献是通过 λ-q-Bernoulli 和 λ-q-Euler 数的生成函数构造了 Lerch zeta 函数的 q-类比，结果表明 ζ_q(λ,1−k) = −β_k,q(λ)/k 对所有 k ∈ ℕ 成立。

ABSTRACT

Recently, $λ$-Bernoulli and $λ$-Euler numbers are studied in [5, 10]. The purpose of this paper is to present a systematic study of some families of the $q$-extensions of the $λ$-Bernoulli and the $λ$-Euler numbers by using the bosonic $p$-adic $q$-integral and the fermionic $p$-adic $q$-integral. The investigation of these $λ$-$q$-Bernoulli and $λ$-$q$-Euler numbers leads to interesting identities related to these objects. The results of the present paper cover earlier results concerning $q$-Bernoulli and $q$-Euler numbers. By using derivative operator to the generating functions of $λ$-$q$-Bernoulli and $λ$-$q$-Euler numbers, we give the $q$-extensions of Lerch zeta function.

研究动机与目标

• 通过 p-adic q-integral 系统地发展 λ-Bernoulli 和 λ-Euler 数的 q-扩展。
• 通过引入 λ-变形，推广早期关于 q-Bernoulli 和 q-Euler 数的研究结果。
• 通过积分表示，建立 λ-q-Bernoulli 和 λ-q-Euler 数的新恒等式。
• 通过 λ-q-特殊数的生成函数，定义并分析 Lerch zeta 函数的 q-扩展。
• 统一并扩展先前在 q-和 λ-变形设定下关于 zeta 函数与特殊数列的研究成果。

提出的方法

• 利用玻色子 p-adic q-integral I_q(f) = ∫_{ℤ_p} f(x) dμ_q(x) 和费米子 p-adic q-integral I_{-q}(f) = ∫_{ℤ_p} f(x) dμ_{-q}(x)，定义 λ-q-Bernoulli 和 λ-q-Euler 数。
• 对 λ-q-Bernoulli 和 λ-q-Euler 数的生成函数应用微分算子，推导出 Lerch zeta 函数的 q-扩展。
• 采用 DC 型 λ-q-Euler 多项式的生成函数 g*(t,λ:q) = ∫_{ℤ_p} λ^x e^{[x]_q t} dμ_{-q}(x) = [2]_q ∑_{m=0}^∞ (−1)^m λ^m q^m e^{[m]_q t}。
• 推导出如 q^n I_{-q}(f_n) = (−1)^n I_{-q}(f) + [2]_q ∑_{l=0}^{n-1} (−1)^{n−1−l} q^l f(l) 这类 p-adic q-integral 的递推关系。
• 基于涉及 [m]_q^s 的 q-级数，构建了 Lerch zeta 函数的两个 q-扩展：ζ_q(λ,s) 和 ζ_q^*(λ,s)。
• 利用恒等式 β_k,q(λ)/k = −∑_{m=1}^∞ q^m λ^m [m]_q^{k−1}，将 q-Bernoulli 数与负整数处的 zeta 函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 p-adic q-integral 将 λ-Bernoulli 和 λ-Euler 数推广为 q-类比？
• RQ2 λ-q-Bernoulli 和 λ-q-Euler 数的 q-扩展会产生哪些恒等式？
• RQ3 λ-q-Bernoulli 和 λ-q-Euler 数的生成函数如何导出 Lerch zeta 函数的 q-扩展？
• RQ4 q-扩展的 Lerch zeta 函数与 λ-q-Bernoulli 数之间存在何种函数关系？
• RQ5 q-扩展的 Lerch zeta 函数能否用 q-级数和特殊数列表示？

主要发现

• q-扩展的 Lerch zeta 函数 ζ_q(λ,s) 定义为 (1−q)(2−s)/(s−1) ∑_{m=1}^∞ q^m λ^m / [m]_q^{s−1} + ∑_{m=1}^∞ q^m λ^m / [m]_q^s，其中 |q|<1 且 λ = e^{2πi/f}。
• 函数方程 ζ_q(λ,1−k) = −β_k,q(λ)/k 对所有 k ∈ ℕ 成立，将 q-扩展的 zeta 函数与 λ-q-Bernoulli 数联系起来。
• 第二个 q-扩展 ζ_q^*(λ,s) 定义为 ∑_{m=1}^∞ q^m λ^m / [m]_q^s，其满足 ζ_q^*(λ,1−k) = −β_k,q(λ)/k。
• DC 型 λ-q-Euler 数通过 E_n,q^*(λ) = ∫_{ℤ_p} λ^x [x]_q^n dμ_{-q}(x) = [2]_q ∑_{m=0}^∞ (−1)^m λ^m q^m [m]_q^n 定义。
• DC 型 λ-q-Euler 多项式的生成函数为 ∑_{n=0}^∞ E_n,q^*(λ,x) t^n / n! = [2]_q ∑_{m=0}^∞ (−1)^m λ^m q^m e^{[m+x]_q t}。
• 结果推广了早期关于 q-Bernoulli 和 q-Euler 数的研究，并将它们与 λ-变形及 p-adic 积分方法统一起来。