[论文解读] On the quantum cohomology of a symmetric product of an algebraic curve

Aaron Bertram, Michael Thaddeus|ArXiv.org|Mar 9, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文计算了亏格 g 代数曲线的 d 次对称积的量子上同调环，给出了除位于狭窄区间 [3/4g, g−1) 外的量子积的显式公式，此时结果以三阶项为模。利用布里尔-诺特理论与格罗莫夫-威滕不变量，推导出生成元与关系式，特别关注 d = g−1 的情形，该情形表现出类卡勒比-雅可布特性，并与 Aspinwall-Morrison 公式相联系。

ABSTRACT

The dth symmetric product of a curve of genus g is a smooth projective variety. This paper is concerned with the little quantum cohomology ring of this variety, that is, the ring having its 3-point Gromov-Witten invariants as structure constants. This is of considerable interest, for example as the base ring of the quantum category in Seiberg-Witten theory. The main results give an explicit, general formula for the quantum product in this ring unless d is in the narrow interval [3/4 g, g-1). Otherwise, they still give a formula modulo third order terms. Explicit generators and relations are also given unless d is in [4/5 g - 3/5, g-1). The virtual class on the space of stable maps plays a significant role. But the central ideas ultimately come from Brill-Noether theory: specifically a formula of Harris-Tu for the Chern numbers of determinantal varieties. The case d = g-1 is especially interesting: it resembles that of a Calabi-Yau 3-fold, and the Aspinwall-Morrison formula enters the calculations. A detailed analogy with Givental's work is also explained.

研究动机与目标

• 确定亏格 g 代数曲线的 d 次对称积的微小量子上同调环的结构。
• 在 d 的临界范围之外，提供该量子上同调环的显式生成元与关系式。
• 分析 d = g−1 的特殊情况，其表现出类卡勒比-雅可布 3-流形的性质。
• 将计算结果与已知的赛伯格-威滕理论结果及 Givental 对格罗莫夫-威滕理论的工作相联系。
• 利用稳定映射模空间的虚拟基本类与行列式代数簇的陈类的 Harris-Tu 公式。

提出的方法

• 作者利用稳定映射模空间上的虚拟基本类计算三点多格罗莫夫-威滕不变量，这些不变量作为量子上同调环中的结构常数。
• 他们应用行列式代数簇的陈数的 Harris-Tu 公式，借鉴布里尔-诺特理论的技术。
• 通过局部化与对称积上的交点理论进行计算，特别关注特殊除子的几何结构。
• 利用量子杯积的结合性与塔陶罗洛环的结构，确定量子积。
• 对于 d = g−1 的情形，作者引入 Aspinwall-Morrison 公式以处理量子修正项。
• 发展了与 Givental 在格罗莫夫-威滕理论方面工作的详细类比，以解释并验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 亏格 g 代数曲线的 d 次对称积的量子上同调环的结构是什么？
• RQ2 该流形的格罗莫夫-威滕不变量如何表现，它们揭示了其量子几何的哪些信息？
• RQ3 在特殊情形 d = g−1 时发生了什么，为何其表现类似于卡勒比-雅可布 3-流形？
• RQ4 如何将行列式代数簇的陈类的 Harris-Tu 公式应用于量子上同调的计算？
• RQ5 该构造与 Givental 形式化及赛伯格-威滕理论在哪些方面相关？

主要发现

• 对于 d 不在区间 [3/4g, g−1) 内的情形，得到了量子积的显式公式，结果以形式幂级数形式成立。
• 提供了量子上同调环的生成元与关系式，但当 d 位于 [4/5g − 3/5, g−1) 时，结构仍部分受阻。
• 在 d = g−1 的情形，量子上同调环表现出类卡勒比-雅可布特性，包括类似于 3-流形的非平凡量子修正项。
• 使用 Aspinwall-Morrison 公式计算了 d = g−1 情形的量子贡献，证实了类卡勒比-雅可布类比。
• 稳定映射模空间的虚拟基本类在计算格罗莫夫-威滕不变量中起核心作用。
• 与 Givental 工作的详细比较已建立，显示出量子上同调计算在结构与形式上的相似性。