[论文解读] On the Randić index and conditional parameters of a graph

J.A. Rodrı́guez, José M. Sigarreta|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2013

Graph theory and applications参考文献 9被引用 23

一句话总结

本文提出一种新型的度邻接矩阵，其中边权与顶点度数几何平均值成反比，用于分析图参数如Randić指数、条件过剩、条件Wiener指数和条件直径。通过利用该矩阵的特征值，作者推导出这些参数的紧上界，特别是表明条件直径和Wiener指数受在最大特征值处求值的k-交错多项式的行为约束，且显式上界取决于图的大小和最小度。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study some parameters of simple graphs related with the degree of the vertices. So, our main tool is the $n imes n$ matrix ${\cal A}$ whose ($i,j$)-entry is $$ a_{ij}= \left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{δ_iδ_j}} & { m if }\quad v_i\sim v_j ; \\ 0 & { m otherwise,} \end{array} ight. $$ where $δ_i$ denotes the degree of the vertex $v_i$. We study the Randić index and some interesting particular cases of conditional excess, conditional Wiener index, and conditional diameter. In particular, using the matrix ${\cal A}$ or its eigenvalues, we obtain tight bounds on the studied parameters.

研究动机与目标

• 开发一种基于新矩阵的图参数分析方法，利用顶点度数。
• 通过加权邻接矩阵的谱性质研究Randić指数及相关条件参数（过剩、直径、Wiener指数）。
• 利用基于特征值的不等式，推导出条件直径和条件Wiener指数的紧上界。
• 证明度邻接矩阵在区分非同构图方面优于标准邻接矩阵。
• 建立在特征值上多项式求值与结构图参数（如直径和Wiener指数）之间的联系。

提出的方法

• 定义度邻接矩阵A，其中相邻顶点vi, vj之间的条目为1/√(δiδj)，其余为0。
• 证明向量ν = (√δ1, ..., √δn)是A的特征向量，对应特征值1，从而确保谱半径为1。
• 利用Perron-Frobenius定理，证明1是最大特征值，其余特征值的模均不超过1。
• 引入与度邻接矩阵特征值网格相关的k-交错多项式Pk，以界定给定距离内顶点的数量。
• 通过不等式Pk(1) > (2m)/β − 1 ⇒ D(β,β)(Γ) ≤ k，推导出条件直径D(β,β)(Γ)的上界。
• 将这些上界应用于条件Wiener指数Wβ(Γ)，将其表示为包含Pk²(1)、β和m的下取整函数之和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用度邻接矩阵来界定图的Randić指数？
• RQ2 度邻接矩阵的特征值与条件直径D(β,β)(Γ)之间存在何种关系？
• RQ3 在最大特征值处求值的k-交错多项式能否为条件直径和Wiener指数提供紧上界？
• RQ4 度邻接矩阵在区分非同构图方面如何优于标准邻接矩阵？
• RQ5 条件Wiener指数Wβ(Γ)的显式上界如何用图的大小、最小度和基于特征值的多项式表示？

主要发现

• 若Pk(1) > (2m)/β − 1，其中Pk为度邻接特征值的k-交错多项式，则条件直径D(β,β)(Γ)的上界为k。
• 标准直径D(Γ)满足D(Γ) ≤ k，若Pk(1) > (2m)/δ − 1，其中δ为最小度。
• 对于正则图，若Pk(1) > n − 1，则D(Γ) ≤ k成立，这为Fiol等人基于标准邻接矩阵所得结果提供了一个谱类比。
• 条件Wiener指数Wβ(Γ)的上界为(x/2) × Σ⌊2m(2m−β)/(β(βPk²(1) + 2m−β))⌋，求和范围从k=0到D(β,β)(Γ)−1，其中x为度数≥β的顶点数。
• 在正则情况下，若满足Pk(1) > n−1，则标准Wiener指数W(Γ)的上界为(n/2) × Σ⌊n(n−1)/(Pl²(1) + n−1)⌋，求和范围从l=0到k−1。
• 度邻接矩阵能够区分在标准邻接矩阵下为共谱的图，如非同构图具有相同的标准特征值但不同的度邻接特征值所示。