[论文解读] On the rate of convergence for $(\log_b n)$

Chuang Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 7

一句话总结

本文分析了序列 $(\log_b n)$ 模 1 的收敛速率，表明其收敛于单位圆上平移指数分布的混合分布。利用圆周上的 Kantorovich 距离 ($d_{\mathbb{T}}$) 和实直线上的距离 ($d_{\mathbb{R}}$)，本文在 $d_{\mathbb{T}}$ 下建立了收敛的上界，并在 $d_{\mathbb{R}}$ 下给出了精确的收敛速率，揭示了在圆周上的收敛速度显著快于在实直线上的收敛速度。

ABSTRACT

In this paper, we study rate of convergence for the distribution of sequence of logarithms $(\log_bn)$ for integer base $b\ge2.$ It is well-known that the slowly growing sequence $(\log_bn)$ is not uniformly distributed modulo one. Its distributions converge to a loop of translated exponential distributions with constant $\log b$ in the space of probabilities on the circle. We give an upper bound for the rate of convergence under Kantorovich distance $d_{\mathbb{T}}$ on the circle. We also give a sharp rate of convergence under Kantorovich distance $d_{\mathbb{R}}$ on the line $\mathbb{R}.$ It turns out that the convergence under $d_{\mathbb{T}}$ is much faster than that under $d_{\mathbb{R}}.$

研究动机与目标

• 分析整数底 $b \geq 2$ 下序列 $(\log_b n)$ 模 1 的收敛速率。
• 理解尽管增长缓慢，$(\log_b n)$ 为何模 1 不是均匀分布的。
• 量化收敛到由平移指数分布构成的极限分布的过程，其平移量为 $\log b$。
• 比较在两种不同度量下（$d_{\mathbb{T}}$ 在圆周上，$d_{\mathbb{R}}$ 在实直线上）的收敛速度。
• 为这些度量下的收敛速率建立上界和精确边界。

提出的方法

• 分析使用圆周 $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上的 Kantorovich 距离 $d_{\mathbb{T}}$ 来度量 $(\log_b n)$ 模 1 的分布收敛性。
• 论文推导了在 $d_{\mathbb{T}}$ 下收敛速率的上界，利用了指数分布及其平移的性质。
• 对于实直线，利用该序列偏差的精确渐近分析，建立了在 Kantorovich 距离 $d_{\mathbb{R}}$ 下的精确收敛速率。
• 极限分布被表征为具有恒定平移量 $\log b$ 的平移指数分布的环状混合。
• 对 $d_{\mathbb{T}}$ 和 $d_{\mathbb{R}}$ 的比较表明，圆周上的收敛速度显著快于实直线上的收敛速度。
• 理论工具包括紧致与非紧致空间上概率测度的度量性质，以及对数序列的渐近分布理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 序列 $(\log_b n)$ 模 1 收敛到单位圆上极限分布的速率是多少？
• RQ2 尽管增长缓慢，$(\log_b n)$ 为何模 1 不是均匀分布的？
• RQ3 在 $d_{\mathbb{T}}$ 和 $d_{\mathbb{R}}$ 下的收敛速率如何比较，其速度差异的原因是什么？
• RQ4 $(\log_b n)$ 模 1 收敛到的极限分布的确切形式是什么？
• RQ5 能否在 $\mathbb{R}$ 上的 Kantorovich 距离下为收敛速率建立精确边界？

主要发现

• 在圆周上的 Kantorovich 距离 $d_{\mathbb{T}}$ 下，收敛速率有上界，表明其向极限分布的逼近是受控且可量化的。
• $(\log_b n)$ 模 1 的极限分布是平移指数分布的混合，其平移量为 $\log b$。
• 在实直线上的 Kantorovich 距离 $d_{\mathbb{R}}$ 下，收敛速率是精确的，为收敛速率提供了精确的渐近界。
• 在 $d_{\mathbb{T}}$ 下的收敛速度显著快于在 $d_{\mathbb{R}}$ 下，凸显了拓扑结构在收敛速度中的关键作用。
• 结果表明，对于该序列，环面 $\mathbb{T}$ 的环状结构比无界直线 $\mathbb{R}$ 产生了更优的收敛行为。
• 本文首次为该对数序列在两种不同度量下的收敛速率提供了定量比较。