[论文解读] On the rate of convergence of empirical measures in $\infty$-transportation distance

Nicolás García Trillos, Dejan Slepčev|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文在有界、连通且具有Lipschitz边界的域上，针对绝对连续概率测度的i.i.d.样本，建立了经验测度在∞-运输距离下的最优收敛速率上界。该上界在二维中为 $ \frac{\ln(n)^{3/4}}{n^{1/2}} $，在 $ d \geq 3 $ 维中为 $ \frac{\ln(n)^{1/d}}{n^{1/d}} $，以高概率成立，且在样本数 $ n $ 的尺度下被证明是紧致的。

ABSTRACT

We consider random i.i.d. samples of absolutely continuous measures on bounded connected domains. We prove an upper bound on the $\infty$-transportation distance between the measure and the empirical measure of the sample. The bound is optimal in terms of scaling with the number of sample points.

研究动机与目标

• 解决∞-运输距离在概率测度与其经验对应物之间收敛速率估计不精确的问题。
• 建立一个关于∞-运输距离的非渐近上界，且该上界在样本数 $ n $ 的尺度下为最优。
• 将先前关于最小-最大匹配与最优传输的结果推广至具有有界密度的一般绝对连续测度，定义于具有Lipschitz边界的域上。
• 在底层测度的正则性假设最小的前提下，提供收敛速率的概率分析。
• 确认所推导上界在 $ n $-尺度下的最优性，特别强调二维情况下对数校正项的作用。

提出的方法

• 通过将域分解为二进制立方体，控制经验测度与真实测度之间的局部差异。
• 在域的子区域与参考立方体之间构造双李普希茨映射，将规则网格上的匹配估计传递至非规则域。
• 在二进制层级上应用浓度不等式与联合界，以控制所有样本点的最大位移。
• 利用密度在零与无穷之间一致有界的事实，确保域内采样行为的一致性。
• 建立∞-运输距离在离散情形下等价于最小-最大匹配距离，从而可应用匹配理论技术。
• 通过与单位立方体上勒贝格测度的已知下界比较，证明所推导上界的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在样本数 $ n $ 的尺度下，概率测度与其经验测度之间∞-运输距离的最优收敛速率是什么？
• RQ2 收敛速率如何依赖于维度 $ d $，特别是在二维和 $ d \geq 3 $ 的情形？
• RQ3 当底层测度在具有Lipschitz边界的域上具有有界密度时，收敛速率是否可以改进或收紧？
• RQ4 二维中的对数校正因子 $ \ln(n)^{3/4} $ 与高维中的 $ \ln(n)^{1/d} $ 是否必要且最优？
• RQ5 该上界是否以高概率成立？能否证明其在 $ n $-尺度下的紧致性？

主要发现

• 本文建立了真实测度 $ \nu $ 与经验测度 $ \nu_n $ 之间∞-运输距离的上界，其在二维中为 $ \frac{\ln(n)^{3/4}}{n^{1/2}} $。
• 在维度 $ d \geq 3 $ 时，上界为 $ \frac{\ln(n)^{1/d}}{n^{1/d}} $，与已知下界仅相差对数因子。
• 该上界以高概率成立，具体而言，仅在概率为 $ O(n^{-\alpha/2}) $ 的集合上不成立，其中 $ \alpha > 2 $ 为任意固定常数。
• 所推导的上界在 $ n $ 的尺度下为最优，意味着在给定假设下不可能存在更快的收敛速率。
• 该结果将先前关于单位立方体中最小-最大匹配的研究推广至具有有界密度的域上的一般绝对连续测度。
• 证明依赖于将域分解为二进制立方体，并构造双李普希茨映射，以将规则网格上的匹配估计传递至域的几何结构。