[论文解读] On the Rayleigh-Taylor instability for incompressible viscous magnetohydrodynamic equations

Fei Jiang, Song Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过在拉格朗日坐标系中利用变分法构造线性化问题的指数增长解，建立了无电阻率和自由界面的不可压缩粘性磁流体动力学（MHD）流体的全局非线性雷利-泰勒不稳定性，证明临界不稳定性阈值恰好为 $\sqrt{g[\varrho]/2}$，并表明粘性与表面张力具有抑制不稳定性的作用。

ABSTRACT

We study the Rayleigh-Taylor problem for two incompressible, immiscible, viscous magnetohydrodynamic (MHD) flows, with zero resistivity, surface tension (or without surface tenstion) and special initial magnetic field, evolving with a free interface in the presence of a uniform gravitational field. First, we reformulate in Lagrangian coordinates MHD equations in a infinite slab as one for the Navier-Stokes equations with a force term induced by the fluid flow map. Then we analyze the linearized problem around the steady state which describes a denser immiscible fluid lying above a light one with an free interface separating the two fluids, and both fluids being in (unstable) equilibrium. By a general method of studying a family of modified variational problems, we construct smooth (when restricted to each fluid domain) solutions to the linearized problem that grow exponentially fast in time in Sobolev spaces, thus leading to an global instability result for the linearized problem. Finally, using these pathological solutions, we demonstrate the global instability for the corresponding nonlinear problem in an appropriate sense. In addition, we compute that the so-called critical number indeed is equal $\sqrt{g[\varrho]/2}$.

研究动机与目标

• 分析在重力作用下，两种不可压缩、互不相溶、具有零电阻率和自由界面的粘性MHD流体之间的雷利-泰勒不稳定性。
• 通过在拉格朗日坐标系中构造索伯列夫空间中的指数增长解，建立线性化MHD问题的全局不稳定性。
• 利用线性情况下的病态解，将线性不稳定性结果推广至完整的非线性MHD问题。
• 确定不稳定性临界数的精确值，并评估粘性与表面张力的影响。
• 通过流体流映射和拉格朗日坐标，将自由边界问题重新表述为固定区域系统。

提出的方法

• 利用流体流映射，将欧拉坐标系中的MHD自由边界问题转化为拉格朗日坐标系下的固定区域问题。
• 在线性化MHD系统时，围绕一个稳态进行展开，其中较重的流体位于较轻的流体之上，形成不稳定平衡。
• 通过求解一族改进的变分问题，构造出光滑且指数增长的线性化问题解。
• 利用构造出的线性解，通过索伯列夫范数中的反证法证明非线性MHD问题的全局非线性不稳定性。
• 分析近似解在扰动参数 $\varepsilon \to 0$ 时的极限，推导出极限弱形式，并验证其与原问题的一致性。
• 应用能量估计与迹理论，处理界面处的跃迁条件，确保法向应力与速度连续性的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不可压缩粘性MHD流体中，零电阻率下雷利-泰勒不稳定性发生的临界数的精确值是什么？
• RQ2 能否在拉格朗日坐标系中为线性化MHD问题构造出指数增长解，从而表明不稳定性？
• RQ3 线性不稳定性是否意味着完整MHD系统（有或无表面张力）的全局非线性不稳定性？
• RQ4 粘性与表面张力如何影响MHD雷利-泰勒问题中不稳定模式的增长率与不稳定性阈值？
• RQ5 能否通过拉格朗日坐标与流体流映射，有效将自由边界问题转化为固定区域问题？

主要发现

• MHD系统中雷利-泰勒不稳定的临界数恰好为 $\sqrt{g[\varrho]/2}$，其中 $[\varrho]$ 为密度差。
• 通过变分法构造出线性化MHD问题的指数增长解，证明了在索伯列夫空间中全局线性不稳定性。
• 基于病态线性解，证明了非线性MHD问题在适当意义下具有全局不稳定性。
• 粘性与表面张力被证明具有稳定作用，可降低不稳定模式的增长率。
• 界面跃迁条件（包括速度连续性与应力平衡）在近似过程的极限中得以保持。
• 近似解的极限满足非线性问题的弱形式，证实了强意义下不稳定解的存在性。