[论文解读] On the real representations of the Poincare group

K. Pedro|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 40被引用 3

一句话总结

本文系統研究了洛倫茲群的實酉不可約表示，表明它們解決了相對論量子力學中的局域化與能量正性問題。論文證明僅實的、有質量的自旋-1/2 或無質量的螺旋度-1/2 表示是可局域化、共變於因果律且能量正的，為馬約拉納費米子與量子場論中的實場形式提供了基礎。

ABSTRACT

The formulation of quantum mechanics with a complex Hilbert space is equivalent to a formulation with a real Hilbert space and particular density matrix and observables. We study the real representations of the Poincare group, motivated by the fact that the localization of complex unitary representations of the Poincare group is incompatible with causality, Poincare covariance and energy positivity. We review the map from the complex to the real irreducible representations---finite-dimensional or unitary---of a Lie group on a Hilbert space. Then we show that all the finite-dimensional real representations of the identity component of the Lorentz group are also representations of the parity, in contrast with many complex representations. We show that any localizable unitary representation of the Poincare group, compatible with Poincare covariance, verifies: 1) it is a direct sum of irreducible representations which are massive or massless with discrete helicity. 2) it respects causality; 3) if it is complex it contains necessarily both positive and negative energy subrepresentations 4) it is an irreducible representation of the Poincare group (including parity) if and only if it is: a)real and b)massive with spin 1/2 or massless with helicity 1/2. Finally, the energy positivity problem is discussed in a many-particles context.

研究动机与目标

• 解決複酉表示在相對論量子力學中與因果性、洛倫茲共變性及能量正性之間的不相容性問題。
• 研究實希爾伯特空間形式的量子力學是否能作為基本粒子的複形式之一致替代方案。
• 確定哪些實酉不可約表示在洛倫茲群下是可局域化且兼容於相對論因果性與能量正性。
• 釐清宇稱與電荷-宇稱對稱性在實表示中的角色，特別是在馬約拉納費米子與電弱相互作用的語境下。
• 建立從複表示到實不可約表示的一對一或兩對一的滿射映射，表明實表示是基本的而非衍生的。

提出的方法

• 利用實化與複化技術，構造李群（特別是洛倫茲群）的複表示到實不可約表示的映射。
• 分析洛倫茲群恆同分支的有限維實表示，並證明它們亦為宇稱的表示，與多數複表示不同。
• 應用「不可約系統」定義實希爾伯特空間中的位置算符，顯示在不可約實表示中其為實線性而非複線性。
• 運用巴格曼-威格納形式，推導出具有離散自旋與螺旋度的洛倫茲群實酉不可約投影表示。
• 應用馬約拉納-傅里葉與馬約拉納-漢克爾變換，將實表示中的坐標空間與動量空間相互關聯。
• 透過條件 $p \cdot q > 0$（其中 $p$ 為相對於參考正能量動量 $q$ 的動量）強制實施洛倫茲共變性、因果性與能量正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 實酉表示的洛倫茲群能否解決複表示中發現的局域化、因果性與能量正性之間的不相容性問題？
• RQ2 哪些實酉不可約表示在洛倫茲群下是可局域化且兼容於相對論因果性與洛倫茲共變性？
• RQ3 為何複表示在單粒子理論中與能量正性及局域化本質上不相容？
• RQ4 實表示與馬約拉納費米子、希格斯玻色子及電磁場的物理描述有何關係？
• RQ5 是否必須要求觀測量在 U(1) 對稱性下不變才能實現局域化？抑或此要求會人為引入不一致？

主要发现

• 所有與因果性及洛倫茲共變性相容的可局域化酉表示，皆為具有離散自旋或螺旋度的不可約表示之直和。
• 一個酉表示為複的，當且僅當其包含正負能量子表示，除非在多粒子框架下處理，否則違反能量正性。
• 在包含宇稱的完整洛倫茲群下，唯一可局域化、具因果性且能量正的不可約酉表示，為實表示中的有質量自旋-1/2 或無質量螺旋度-1/2。
• 洛倫茲群恆同分支的有限維實表示總是宇稱的表示，而多數複表示則不然。
• 能量正性條件 $p \cdot q > 0$ 在洛倫茲變換下不變，並在實希爾伯特空間中定義了一致的能量符號參考。
• 複表示中的局域化問題並非源自相對論本身，而是源自假設觀測量必須為 U(1) 不變，此假設與實希爾伯特空間形式不相容。