[论文解读] On the Recognition of Fan-Planar and Maximal Outer-Fan-Planar Graphs
本文提出了一种多项式时间算法，用于识别最大外-扇形平面图，并提供了结构化表征，以实现高效嵌入。此外，本文证明了当旋转系统固定时，测试一般扇形平面性是 NP-难的，从而在扇形平面性识别的可 tractable 与不可 tractable 情况之间确立了精确边界。
Fan-planar graphs were recently introduced as a generalization of 1-planar graphs. A graph is fan-planar if it can be embedded in the plane, such that each edge that is crossed more than once, is crossed by a bundle of two or more edges incident to a common vertex. A graph is outer-fan-planar if it has a fan-planar embedding in which every vertex is on the outer face. If, in addition, the insertion of an edge destroys its outer-fan-planarity, then it is maximal outer-fan-planar. In this paper, we present a polynomial-time algorithm to test whether a given graph is maximal outer-fan-planar. The algorithm can also be employed to produce an outer-fan-planar embedding, if one exists. On the negative side, we show that testing fan-planarity of a graph is NP-hard, for the case where the rotation system (i.e., the cyclic order of the edges around each vertex) is given.
研究动机与目标
- 开发一种高效算法，用于识别最大外-扇形平面图。
- 表征最大外-扇形平面图的结构特性，以支持算法识别。
- 研究当旋转系统给定时，扇形平面性识别的计算复杂性。
- 探索扇形平面性识别中可 tractable 与不可 tractable 情况之间的边界。
- 将非最大外-扇形平面图的高效识别问题留作开放问题。
提出的方法
- 基于最大外-扇形平面图的结构特性（包括顶点排序和边插入约束）设计多项式时间算法。
- 利用顶点的规范顺序来指导有效外-扇形平面嵌入的构建。
- 利用禁止交叉模式 II 和 III 在外-扇形平面性中无关紧要的事实，以简化识别过程。
- 从 3-划分问题（3P）构造归约，以证明固定旋转系统下扇形平面性的 NP-难性。
- 定义一种图构造方法，涉及环、梁和横向路径，以在扇形平面图中模拟 3P 实例。
- 确保横向路径恰好穿过所需数量的垂直边，同时保持扇形平面性和旋转系统约束。
实验结果
研究问题
- RQ1最大外-扇形平面图能否在多项式时间内被识别？
- RQ2哪些结构特性表征了最大外-扇形平面图，以支持高效识别？
- RQ3当旋转系统作为输入给定时，一般扇形平面性识别问题是否为 NP-难？
- RQ4能否将 3-划分问题归约为具有固定旋转系统的扇形平面性识别实例？
- RQ5识别非最大外-扇形平面图的复杂性是什么？
主要发现
- 存在一种多项式时间算法，可用于识别最大外-扇形平面图。
- 该算法在存在外-扇形平面嵌入时，也能生成该嵌入。
- 当旋转系统作为输入给定时，扇形平面性识别问题是 NP-难的。
- NP-难性结果通过从 3-划分问题的归约得到证明。
- 归约构造了一类图，其中横向路径必须恰好穿过三个中心单元和 (3m−3)K+B 条垂直边，对应于有效的 3-划分。
- 扇形平面性的结构约束强制每条横向路径恰好通过三个中心单元，从而与 3P 解形成一一对应。
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