[论文解读] On the recurrence of some random walks in random environment

Nina Gantert, Michael Kochler+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过推导一维常返随机环境中的随机游走（RWRE）——特别是西蒙尼的游走——的新quenched返回概率估计，建立了多维随机环境中随机游走（RWRE）的常返性。关键贡献在于证明：在相同的一维常返环境中，k个独立的游走者以几乎必然的频率无限次在原点相遇；该结果在直接积模型中应用，表明其常返性强于简单对称随机游走。

ABSTRACT

This work is motivated by the study of some two-dimensional random walks in random environment (RWRE) with transition probabilities independent of one coordinate of the walk. These are non-reversible models and can not be treated by electrical network techniques. The proof of the recurrence of such RWRE needs new estimates for quenched return probabilities of a one-dimensional recurrent RWRE. We obtained these estimates by constructing suitable valleys for the potential. They imply that k independent walkers in the same one-dimensional (recurrent) environment will meet in the origin infinitely often, for any k. We also consider direct products of one-dimensional recurrent RWRE with another RWRE or with a RW. We point out the that models involving one-dimensional recurrent RWRE are more recurrent than the corresponding models involving simple symmetric walk.

研究动机与目标

• 建立过渡概率与某一坐标无关的多维RWRE的常返性。
• 在均匀椭圆性和零均值对数密度的假设下，为一维常返RWRE（西蒙尼的游走）推导新的quenched返回概率估计。
• 证明在相同的一维常返环境中，k个独立粒子以几乎必然的频率无限次在原点相遇。
• 比较基于RWRE的模型与基于简单对称随机游走的模型的常返性质。
• 证明基于一维常返RWRE的模型比其简单随机游走对应模型更具常返性。

提出的方法

• 通过在势能景观中构造合适的山谷，估计一维常返RWRE的quenched返回概率。
• 使用由i.i.d.随机变量 ωx ∈ (0,1) 定义的环境依赖过渡概率，满足 E[log ρ0] = 0 且 Var(log ρ0) > 0。
• 应用稳定分布的极限定理和吸引域结果，分析二维模型中的垂直位移过程。
• 分析quenched返回概率之和 ∑n Pω(X2n = 0) · n−α = ∞ 对于 α < 1，以及 ∑n (Pω(X2n = 0))α = ∞ 对于 α > 0。
• 使用耦合论证和垂直位移过程 Y2n 的渐近分析，表明其依分布收敛于稳定分布。
• 应用Nash-Williams不等式，并与连续时间跳跃过程比较，以支持返回概率的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相同的一维常返环境中，k个独立执行常返RWRE的粒子是否以几乎必然的频率无限次在原点相遇？
• RQ2 在给定假设下，西蒙尼的游走的quenched返回概率 Pω(X2n = 0) 如何表现？
• RQ3 当某一维的过渡概率与环境无关时，2D RWRE的常返性是否强于基于简单对称随机游走的模型？
• RQ4 在quenched设定下，和式 ∑n Pω(X2n = 0) · n−α 对于 α < 1 的渐近行为是什么？
• RQ5 在二维模型中，垂直位移过程 Y2n 如何影响完整游走 (Xn, Yn) 的常返性？

主要发现

• 对 P-几乎处处的环境 ω，对所有 0 ≤ α < 1，有 ∑n Pω(X2n = 0) · n−α = ∞，表明存在强烈的quenched返回行为。
• 对所有 α > 0，对 P-几乎处处的 ω，有 ∑n (Pω(X2n = 0))α = ∞，确认返回事件以临界速率持续发生。
• 在相同的一维常返环境中，k个独立游走者以几乎必然的频率无限次在原点相遇，对任意 k ∈ ℕ 成立。
• 在二维模型中，若一个分量为西蒙尼的游走，另一个分量为常返随机游走，则对 P-几乎处处的环境，完整游走是常返的。
• 当一维分量被简单对称随机游走替代时，若垂直位移过程处于 β-稳定分布（β < 2）的吸引域内，则二维游走变为瞬时的。
• 由于RWRE情形下返回概率具有更重的尾部，2D RWRE模型的常返性严格强于基于简单对称随机游走的模型。