[论文解读] On the reducibility of Schlesinger isomonodromic families

Renat Gontsov, V. P. Leksin|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文在单值 monodromy 矩阵已处于此类形式的前提下，建立了通过常数规范变换将 Schlesinger 等单值性族约化为分块上三角形式的充分条件。它利用扭曲同调与具有 Jordan-Pochhammer 类型连接的 Pfaffian 系统，为 Schlesinger 方程的上三角解的条目建立了超几何类型的积分表示。

ABSTRACT

We obtain some sufficient conditions for reducibility of a Schlesinger isomonodromic family with the (block) upper-triangular monodromy to the same (block) upper-triangular form via a constant gauge transformation. We also obtain integral representations of hypergeometric type for entries of upper-triangular solutions of the Schlesinger equation.

研究动机与目标

• 确定当 Schlesinger 等单值性族的 monodromy 矩阵已为分块上三角形式时，其可通过常数规范变换约化为相同分块上三角形式的充分条件。
• 为 Schlesinger 方程的上三角解条目建立超几何类型的积分表示。
• 分析 Fuchsian 系统及其等单值形变的参数约化性，与 monodromy 结构的关系。
• 探讨等单值性族中残差矩阵的约化性与 monodromy 矩阵的分块结构之间的联系。
• 提供一种利用全纯向量丛与具有扭曲循环的梅雷omorphic 连接构造 Schlesinger 方程解的框架。

提出的方法

• 利用全纯向量丛与梅雷omorphic 连接研究 Fuchsian 系统的等单值形变。
• 应用系数属于局部系统（与多值函数 $ F(t) = (t - a_1)^{\beta_1} \cdots (t - a_n)^{\beta_n} $ 关联的对偶）的扭曲同调，实现积分表示。
• 利用 Jordan-Pochhammer 系统，通过具有矩阵 1-形式 $ \Omega^u, \Omega^v $ 的 Pfaffian 系统，描述上三角残差矩阵的非对角条目 $ u_i(a), v_i(a) $ 的演化。
• 推导出右上角条目 $ b_i(a) $ 的非齐次系统，表示为 $ db = \Omega b + \theta $，其中 $ \Omega $ 为矩阵 1-形式，$ \theta $ 为向量值微分形式。
• 利用齐次系统的基本矩阵 $ Y(a) $，构造 $ c(a) = \text{const} + \int_{a^0}^a Y^{-1} \theta $，并由于 $ Y^{-1}\theta $ 的闭性，证明积分与路径无关。
• 应用引理 2（Varchenko）得到 $ Y^{-1} = (Y^*)^T \Lambda $，其中 $ Y^* $ 满足具有 $ -\beta $ 的对偶系统，且 $ \Lambda = \text{diag}(1/\beta_1, \dots, 1/\beta_n) $，从而实现 $ Y^{-1} $ 条目的积分表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有分块上三角 monodromy 的 Schlesinger 等单值性族可通过常数规范变换约化为相同分块上三角形式？
• RQ2 如何为 Schlesinger 方程的上三角解条目构造超几何类型的积分表示？
• RQ3 在等单值性族中，残差矩阵 $ B_i(a) $ 的约化性与 monodromy 矩阵 $ G_i $ 的分块结构之间存在何种关系？
• RQ4 上三角解的非对角条目 $ u_i(a), v_i(a), b_i(a) $ 在 Schlesinger 方程下如何演化？其行为由何种系统控制？
• RQ5 τ-函数与 Malgrange Θ-除子在等单值性族的参数约化性中起何种作用？

主要发现

• 推导出在 monodromy 矩阵已为分块上三角形式的前提下，Schlesinger 等单值性族的残差矩阵 $ B_i(a) $ 可通过常数规范变换约化为分块上三角形式的充分条件。
• 在 $ p=3 $ 情形下，表示第一、二条非对角条目的向量函数 $ u(a) $ 和 $ v(a) $ 满足 Jordan-Pochhammer 系统 $ du = \Omega^u u $，$ dv = \Omega^v v $，其中矩阵 1-形式 $ \Omega^u, \Omega^v $ 依赖于指数差 $ \beta_i^1 - \beta_i^2 $，$ \beta_i^2 - \beta_i^3 $。
• 右上角条目 $ b_i(a) $ 满足非齐次系统 $ db = \Omega b + \theta $，其中 $ \Omega $ 为 Schlesinger 方程中的矩阵 1-形式，$ \theta $ 为编码非对角条目乘积的向量值微分形式。
• 解 $ b(a) = Y(a)c(a) $ 构造为 $ c(a) = \text{const} + \int_{a^0}^a Y^{-1}\theta $，且由于 $ Y^{-1}\theta $ 的闭性，积分与路径无关，从而保证可积性。
• 当所有 $ \beta_i \neq 0 $ 时，基本矩阵 $ Y^{-1} $ 的逆矩阵可通过 $ Y^{-1} = (Y^*)^T \Lambda $ 表示，其中 $ Y^* $ 满足具有 $ -\beta $ 的对偶系统，且 $ \Lambda = \text{diag}(1/\beta_1, \dots, 1/\beta_n) $。
• 为 $ Y^{-1} $ 的条目建立了超几何类型的积分表示，将扭曲循环积分技术推广至等单值形变与上三角解的情境中。