[论文解读] On the Rees-Sushkevich variety

Stanislav Kublanovsky|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2010

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了一种可判定算法，用于判断一个半群簇是否为Rees–Sushkevich簇——即由指数有界的周期群上的完全0-单半群生成的簇。证明了此类簇可通过排除13个特定有限半群来表征，并提供了基于等式和剩余有限性条件的算法判别准则，应用于剩余性质分析及由完全0-单半群生成的精确簇的刻画。

ABSTRACT

We study varieties of semigroups related to completely 0-simple semigroup. We present here an algorithmic descriptions of these varieties in terms of "forbidden" semigroups. We also describe residually completely 0-simple varieties of semigroups in terms of identities.

研究动机与目标

• 确定给定半群簇是否为Rees–Sushkevich簇，即是否由指数有界的周期群上的完全0-单半群生成。
• 通过禁止的有限半群和等式，提供Rees–Sushkevich簇的算法化表征。
• 在更广泛的Rees–Sushkevich簇类中，刻画由完全0-单半群生成的簇（称为“精确”簇）。
• 研究这些簇中的剩余性质，特别是剩余有限性以及对Brandt或B₂半群的剩余性。
• 建立精确簇的等式理论可判定性，将其与指数为n的Burnside问题的可判定性联系起来。

提出的方法

• 引入一个包含13个特定有限半群的列表，这些半群在任何Rees–Sushkevich簇中均被禁止。
• 利用这样一个事实：任何由非平衡等式定义的簇必须满足某个x^m = x^{m+n}，从而可通过在r ≤ n的K_r半群上进行有限测试。
• 应用平衡等式的概念：若一个系统中的所有等式均为平衡的，则该簇包含所有交换半群，因此不可能是Rees–Sushkevich簇。
• 利用Green关系L、R和H来刻画簇中的剩余有限性与剩余性。
• 借助关于Burnside问题的已知结果（Adian, Ivanov），证明了对奇数n ≥ 665以及n > 2^48且被2^9整除的情形，其可判定性成立。
• 使用半群表示和等式系统，根据剩余性质及嵌入Brandt半群的能力对簇进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个算法，可判定一个有限表示的半群簇是否为Rees–Sushkevich簇？
• RQ2 哪些半群簇是由完全0-单半群生成的（称为“精确”簇），以及如何对它们进行刻画？
• RQ3 哪些等式刻画了其中每个半群均为B₂-剩余或Brandt-剩余的簇？
• RQ4 周期群指数为n的等式理论的可判定性，如何与判定Rees–Sushkevich簇的可判定性相关联？
• RQ5 Green关系L、R和H在刻画Rees–Sushkevich簇中的剩余有限性与剩余性方面起什么作用？

主要发现

• 一个半群簇V是Rees–Sushkevich簇，当且仅当它不包含由13个特定有限半群（通过表示式定义）中的任何一个。
• 识别Rees–Sushkevich簇的问题是可判定的，因为只需测试有限多个禁止半群和K_r半群（其中r ≤ n）。
• 每个由完全0-单半群生成的簇（即“精确”簇）都是Rees–Sushkevich簇，且此类簇可通过涉及B₂、A₀、A₂和N₂半群的条件来刻画。
• 所有精确半群簇的类构成半群簇格的一个子格，这是一个出人意料的结构性结果。
• 其中每个半群均为B₂-剩余或Brandt-剩余的簇，由三组特定等式刻画，且此类簇要么是剩余有限的，要么是正规正则带群的扩张。
• 对于奇数n ≥ 665以及n > 2^48且被2^9整除的情形，周期群指数为n的等式理论是可判定的，这意味着存在一个算法，可判定一个簇是否与所有由指数为n的周期群上的完全0-单半群生成的簇完全一致。