[论文解读] On the regularity of abnormal minimizers for rank $2$ sub-Riemannian structures

Davide Barilari, Yacine Chitour+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 29被引用 40

一句话总结

证明了在一类秩-2子-Riemannian结构中的异常长度最小化曲线具有C1正则性；在步数≤4的情况下，所有此类最小化曲线都具有C1，并在生成李代数的幂零性条件下进一步具有平滑性（C∞）。

ABSTRACT

We prove the $C^{1}$ regularity for a class of abnormal length-minimizers in rank $2$ sub-Riemannian structures. As a consequence of our result, all length-minimizers for rank $2$ sub-Riemannian structures of step up to $4$ are of class $C^{1}$.

研究动机与目标

• 动机：在亚雷曼几何中长度极小曲线的正则性问题，并识别严格异常曲线中的研究空缺。
• 建立在秩-2结构中异常极小化曲线达到C1正则性的条件。
• 证明在步数至多为4的秩-2结构中，所有长度极小化曲线都是C1。
• 在生成李代数满足幂零假设时，提供达到更高正则性（C∞）的途径。
• 将异常极值的动力学（哈密顿ian）结构与几何正则性结果联系起来。

提出的方法

• 通过它们的哈密顿力学动力学及相关对偶变量 h_i 与 h_{i1...im} 来研究异常极值。
• 去奇异化并将问题幂零化化简为等规的、卡诺模型式的模型。
• 推导并分析一个关于 h=(-h_{212}, h_{112}) 的 2×2 系统，其随 u 在 S^1 中演化，使用迹为零的矩阵 A(t)。
• 证明在相关函数 h ≠ 0 的区间上，最优控制与 A 的特征向量对齐，并通过时间重标定来研究潜在奇异点处的极限。
• 在区间端点对 det A 的非正性结果，用以在某些条件下排除角点型极小化曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 当异常提升不落在 (D^4)⊥ 时，秩-2子-Riemannian结构中的每个长度极小化曲线是否都具有C1正则性？
• RQ2 在何种结构假设下（例如步数 ≤ 4），所有长度极小化曲线在秩-2子-Riemannian流形中成为C1？
• RQ3 有哪些额外条件能够使长度极小化曲线超越C1，达到C∞正则性？
• RQ4 去奇异化和幂零近似如何影响异常极小化者的正则性？
• RQ5 对于秩-2、步数有界的情形，是否可以通过哈密顿动力学排除角点作为长度极小化曲线？

主要发现

• 如果一个秩-2结构中的异常极小化曲线的提升在所有 t 上的 λ(t) 不属于 (D^4)⊥，则它是 C1。
• 推论：当秩-2子-Riemannian结构的步数 ≤ 4 时，所有长度极小化曲线都是 C1。
• 在生成条件为幂零的情况下（Lie{X1,X2} 的步数 ≤ 4），长度极小化曲线实际上是 C∞。
• 在一般情形下，异常极值的动力学给出一个二分法：非光滑性将意味着角点样的奇异性，在所给假设下可以排除。
• 分析依赖于 Goh 条件（h1 = h2 = h12 = 0）以及演化 dh/dt = u1 h1? + u2 h2?，其中 A(t) 的迹为零。
• Desingularisation 将非等规情况简化为等规模型，保留核心的正则性结论。