[论文解读] On the regularity of complex multiplicative chaos

Janne Junnila, Eero Saksman+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文在次临界的眼形区域 $ E_a $ 内，建立了复乘法混沌测度 $ \mu_\beta $ 的矩有限性与 Besov 正则性，其中 $ \beta $ 为复数。利用高斯乘法混沌理论、基于小波分析与标度变换的矩估计，证明了 $ \mu_\beta $ 具有有限的 $ p $-阶矩，并属于局部 Besov 空间 $ B_{p,q}^s(U) $，其正则性阈值达到最优，且依赖于 $ \operatorname{Re}(\beta) $ 与 $ \operatorname{Im}(\beta) $，将先前关于虚部混沌的结果推广至一般复 $ \beta $。

ABSTRACT

Denote by $μ_β="\exp(βX)"$ the Gaussian multiplicative chaos which is defined using a log-correlated Gaussian field $X$ on a domain $U\subset\mathbb{R}^d$. The case $β\in\mathbb{R}$ has been studied quite intensively, and then $μ_β$ is a random measure on $U$. It is known that $μ_β$ can also be defined for complex values $β$ lying in certain subdomain of $\mathbb{C}$, and then the realizations of $μ_β$ are random generalized functions on $U$. In this note we complement the results of Junnila et al. (where the case of purely imaginary $β$ was considered) by studying the Besov-regularity of $μ_β$ and the finiteness of moments for general complex values of $β$.

研究动机与目标

• 将实数与虚数 $ \beta $ 情况下的正则性与矩有限性结果，推广至高斯乘法混沌理论中的一般复 $ \beta $。
• 确定复 $ \beta $ 的精确范围，使得复乘法混沌测度的 $ p $-阶矩为有限。
• 以 $ \beta $ 的实部与虚部为参数，刻画复乘法混沌测度 $ \mu_\beta $ 的最优局部 Besov 正则性。
• 在 Besov 空间 $ B_{p,q}^s(U) $ 中，为 $ \mu_\beta $ 提供尖锐的正则性阈值，推广已知的实数与纯虚数 $ \beta $ 情况下的结果。
• 在协方差核 $ g $ 的自然光滑性假设下，证明所导出的矩与正则性界为最优。

提出的方法

• 本文利用基于小波的 Besov 空间表征方法，分析复乘法混沌 $ \mu_\beta $ 的正则性。
• 通过利用对数相关场 $ X $ 及其关联混沌测度 $ \mu_\beta $ 的标度性质，进行矩估计。
• 该方法涉及对测试函数进行小波分解，并估计 $ \mu_\beta $ 的小波系数的 $ L^p $ 范数。
• 借助先前工作中建立的 $ \mu_\beta $ 在眼形区域 $ E_a $ 上关于 $ \beta $ 的解析性，将正则性结果推广至复 $ \beta $。
• 分析依赖于混沌测度的局部平移不变性，以及由高斯混沌理论导出的标度关系。
• 一个关键技术步骤是：利用场的协方差核 $ g \in H^{d+\varepsilon}_{\text{loc}}(U \times U) $ 的矩条件，对小波系数的矩进行有界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些复数 $ \beta \in \mathbb{C} $，复乘法混沌测度 $ \mu_\beta $ 的 $ p $-阶矩为有限？
• RQ2 存在怎样的最优局部 Besov 正则性指数 $ s $，使得对复 $ \beta $ 有 $ \mu_\beta \in B_{p,q,\text{loc}}^s(U) $？
• RQ3 正则性阈值如何依赖于 $ \beta $ 的实部与虚部？
• RQ4 能否将矩与正则性界的结果，从文献 [9] 中研究的纯虚数 $ \beta $ 情况推广至更广范围？
• RQ5 在给定协方差核 $ g $ 的假设下，所导出的矩与正则性界是否为最优？

主要发现

• 当 $ g \in H^{d+\varepsilon}_{\text{loc}}(U \times U) $ 时，对所有 $ \beta \in E_{a,p} = E_a \cap \left(\left\{|\operatorname{Re}(\beta)| < \sqrt{2d}/p\right\} \cup \left\{(p-1)\operatorname{Re}(\beta)^2 + \operatorname{Im}(\beta)^2 < 2d(p-1)/p\right\}\right) $，$ \mu_\beta $ 的 $ p $-阶矩为有限。
• 当 $ \beta \in E_a $ 且 $ p \geq 1 $ 时，若 $ |\operatorname{Re}(\beta)| \leq \sqrt{2d}/p $，则对所有 $ s < -\frac{(p-1)\operatorname{Re}(\beta)^2 + \operatorname{Im}(\beta)^2}{2} $，有 $ \mu_\beta \in B_{p,q,\text{loc}}^s(U) $。
• 当 $ |\operatorname{Re}(\beta)| \geq \sqrt{2d}/p $ 时，正则性阈值为 $ s < \frac{d}{p} - \sqrt{2d}|\operatorname{Re}(\beta)| + \frac{\operatorname{Re}(\beta)^2 - \operatorname{Im}(\beta)^2}{2} $，且对任意 $ q \geq 1 $，有 $ \mu_\beta \in B_{p,q,\text{loc}}^s(U) $。
• 基于矩估计的结构与标度行为，推测所导出的矩与正则性界为最优。
• 结果将复乘法混沌的矩与正则性理论，从纯虚数 $ \beta $ 推广至完整的次临界复域 $ E_a $。
• 分析证实，正则性阈值非平凡地依赖于 $ \operatorname{Re}(\beta) $ 与 $ \operatorname{Im}(\beta) $，反映了复混沌构造中实部与虚部之间的相互作用。