[论文解读] On the regularity of CR mappings between CR manifolds of hypersurface type

S. Berhanu, Ming Xiao|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了在黎曼非退化CR流形（超曲面型）之间CR映射的光滑性与解析性正则性，证明当目标流形的黎曼形式的指标满足 $l \leq n$ 且 $N-l \leq n$ 时，$C^{N-n+1}$ 类的CR横截映射在某个稠密开子集上是光滑或实解析的。结果将经典的施瓦茨反射原理推广至非强拟凸情形，并给出了指标的精确约束条件。

ABSTRACT

We prove smooth and analytic versions of the classical Schwarz reflection principle for transversal CR mappings between two CR manifolds of hypersurface type.

研究动机与目标

• 建立CR映射在抽象与嵌入式CR流形之间为光滑或实解析的充分条件。
• 通过确定目标流形的精确指标约束，将经典的施瓦茨反射原理推广至非强拟凸目标情形。
• 解决当目标流形为黎曼非退化但非强拟凸时CR映射的正则性问题，此时先前结果不再适用。
• 通过反例证明横截性与指标条件的必要性，展示在缺乏这些条件时正则性会失效。

提出的方法

• 作者基于映射在阶数 $N-n+1$ 以下的微分的秩，采用喷射确定法，利用CR丛与黎曼形式的结构。
• 在横截方向应用复化技术，以全纯方式延拓CR函数，依赖于源流形的强拟凸性。
• 关键步骤是利用全纯情形下的隐函数定理，构造在非退化点附近映射的全holomorphic延拓。
• 证明依赖于通过复化横截变量后，利用全纯隐函数定理存在映射的实解析或光滑延拓。
• 该方法区分了最大秩点（$\mathrm{rank}_{N-n+1}(F,p) = N+1$）与低秩点，通过序列论证证明光滑点的稠密性。
• 通过构造在强拟凸流形上定义的 $C^{k}$ CR函数，其在任意非空开集上均不为 $C^\infty$，证明了指标约束的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$C^{N-n+1}$ 类的CR横截映射在黎曼非退化超曲面型CR流形之间必然在某个稠密开子集上光滑或实解析？
• RQ2 经典的施瓦茨反射原理能否推广至非强拟凸目标？若能，目标流形需满足何种指标约束？
• RQ3 横截性假设对正则性是否必要？若该假设被违反，会发生什么？
• RQ4 $C^{k}$ 类CR函数在强拟凸流形上是否可能在任意开集上均不光滑？这如何影响映射的正则性？
• RQ5 目标流形的黎曼形式指标在决定CR映射正则性方面起什么作用？

主要发现

• 若目标流形 $M^\prime$ 的指标为 $(l, N-l)$ 且满足 $l \leq n$ 与 $N-l \leq n$，且映射 $F$ 为 $C^{N-n+1}$ 类且CR横截，则 $F$ 在 $M$ 的某个稠密开子集上光滑。
• 当 $M$ 与 $M^\prime$ 均为实解析超曲面时，该结果的解析版本在相同的指标与光滑性条件下仍成立。
• 通过反例表明，若 $l > n$ 或 $N-l > n$，则光滑性结论不成立，从而证明了指标假设的精确性。
• 作者构造了一个在强拟凸流形上定义的 $C^{k}$ CR函数，其在任意非空开集上均不为 $C^\infty$，从而证明了指标约束的必要性。
• 结果表明，在相同条件下，$C^2$ 类CR映射具有有限喷射确定性，将先前在 $C^\infty$ 类下的结果推广至 $C^2$ 类。
• 正则性的稠密开子集由映射 $F$ 在阶数 $N-n+1$ 以下的微分的秩所刻画，且在这些点处非退化性可推出光滑性。